ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.3. Нелинейная картина

• 1. $\gamma = 4{,}0$, $\alpha = 7{,}0$ Дж/(кг $\cdot$ (°C)$^2$)
• 2. Область «вода» ограничена кривой $t_{\text{в}} = 80 - \frac{t_{\text{л}}}{2} - \frac{t_{\text{л}}^2}{1200}$ с характерными точками $(0^{\circ}\mathrm{C}; 80^{\circ}\mathrm{C})$ и $(-43^{\circ}\mathrm{C}; 100^{\circ}\mathrm{C})$; области «лёд» нет, остальная часть — смесь воды и льда.

1. Первый способ.

Пунктирная линия на диаграмме, разделяющая состояния ”лёд” и ”смесь воды и льда”, соответствует льду при температуре плавления $0^{\circ}\mathrm{C}$. Выведем уравнение данной линии. Количество теплоты, которое вода отдаёт при остывании до $0^{\circ}\mathrm{C}$ и кристаллизации: $Q_{\text{отд}} = 2cm_{\text{в}}t_{\text{в}} + m_{\text{в}}\lambda$. Средняя удельная теплоёмкость льда при нагревании от $t_{\text{л}}$ до $0^{\circ}\mathrm{C}$ равна $c_{\text{ср}} = \frac{c + (c + \alpha t_{\text{л}})}{2} = c + \frac{\alpha t_{\text{л}}}{2}$. Тогда количество теплоты, необходимое для нагревания льда до $0^{\circ}\mathrm{C}$ равно $Q_{\text{получ}} = c_{\text{ср}}m_{\text{л}}(-t_{\text{л}}) = -(c + \frac{\alpha t_{\text{л}}}{2})m_{\text{л}}t_{\text{л}}$. Так как тепловых потерь нет, $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{получ}}$. Используя обозначения $\gamma = m_{\text{л}}/m_{\text{в}}$ и $\lambda = 2cT$, получим искомую зависимость:

Подставив в уравнение (1) точки $(-95; 80)$ и $(-55; 20)$ из диаграммы, в которых пунктирная линия хорошо попадает на узлы координатной сетки, получим

Второй способ.

Пунктирная линия на диаграмме, разделяющая состояния ”лёд” и ”смесь воды и льда”, соответствует льду при температуре плавления $0^{\circ}\mathrm{C}$. Найдём угловой коэффициент касательной, проведённой к этой пунктирной линии, в точке $(t_{\text{л}}; t_{\text{в}})$. Пусть кусок льда взят при температуре $t_{\text{л}} - \Delta t_{\text{л}}(\Delta t_{\text{л}} \ll t_{\text{л}})$. Определим, на сколько градусов $\Delta t_{\text{в}}$ теплее необходимо взять воду, чтобы содержимым сосуда был лёд при $0^{\circ}\mathrm{C}$. Дополнительное количество теплоты, необходимое для плавления льда равно $\Delta Q_{\text{л}} = c_{\text{л}}(t_{\text{л}})m_{\text{л}}\Delta t_{\text{л}}$. Это тепло берётся из-за более теплой воды $\Delta Q_{\text{в}} = 2cm_{\text{в}}\Delta t_{\text{в}}$. Так как тепловых потерь нет, $\Delta Q_{\text{в}} = \Delta Q_{\text{л}}$. Модуль углового коэффициента касательной

Этот же результат можно было получить дифференцированием по $t_{\text{л}}$ выражения (1), полученного в первом методе решения. Подставив в уравнение (1$^*$) значения для модулей угловых коэффициентов касательных $k_1 = |\frac{80-20}{(-90)-(-55)}| = 1{,}714$ и $k_2 = |\frac{80-0}{(-95)-(-35)}| = 1{,}333$, проведенных к точкам пунктирной линии $t_{\text{л}}^{(1)} = -43^{\circ}\mathrm{C}$ и $t_{\text{л}}^{(2)} = -100^{\circ}\mathrm{C}$ соответственно, получим

Реальная зависимость (табличные данные) удельной теплоёмкости льда от его температуры имеет такой вид (см. рисунок).

2. В диаграмме, данной в условии, масса льда была в 4 раза больше массы воды, поэтому конечным состоянием содержимого сосуда не могла быть вода. В данном же пункте задачи, возможно, что конечным состоянием содержимого сосуда может быть и вода. Найдем уравнение линии, соответствующей воде при $0^{\circ}\mathrm{C}$. Количество теплоты, которое вода отдаёт при остывании до $0^{\circ}\mathrm{C}$: $Q_{\text{отд}} = 2cm_{\text{в}}t_{\text{в}}$. Количество теплоты, необходимое для нагревания льда до $0^{\circ}\mathrm{C}$ и его плавления: $Q_{\text{получ}} = -(c + \frac{\alpha t_{\text{л}}}{2})m_{\text{л}}t_{\text{л}} + m_{\text{л}}\lambda$. Из уравнения $Q_{\text{отд}} = Q_{\text{получ}}$ получим искомую зависимость:

Если свободный член в уравнении (2) меньше температуры кипения воды $100^{\circ}\mathrm{C}$, то на диаграмме будет область, соответствующая состоянию "вода". Это наш случай, так как $\gamma_0 = \frac{m_{\text{л}}}{m_{\text{в}}} = 1 < \frac{100^{\circ}\mathrm{C}}{80^{\circ}\mathrm{C}}$. В градусах Цельсия уравнение (2) примет вид

Найдём характерные точки, соответствующие данной зависимости. Одна из точек очевидна – $(0^{\circ}\mathrm{C}; 80^{\circ}\mathrm{C})$. Вторую точку найдём как точку пересечения с прямой $t_{\text{в}}(t_{\text{л}}) = 100^{\circ}\mathrm{C}$:

Решение этого квадратного уравнения даёт $t_{\text{л}} \approx -43^{\circ}\mathrm{C}$ (второй корень не попадает в разрешённый диапазон $[-100^{\circ}\mathrm{C}; 0^{\circ}\mathrm{C}]$). Итак, вторая характерная точка – $(-43^{\circ}\mathrm{C}; 100^{\circ}\mathrm{C})$. Покажем, что на нашей диаграмме не будет состояния "лёд". Действительно, условие пересечения линии, соответствующей льду при $0^{\circ}\mathrm{C}$, с осью абсцисс имеет вид

То есть точка пересечения $t_{\text{л}}$ такова, что $-T - \frac{t_{\text{л}}}{2} > 0 \Leftrightarrow t_{\text{л}} < -160^{\circ}\mathrm{C}$. Таким образом, на рассматриваемой области $[-100^{\circ}\mathrm{C}; 0^{\circ}\mathrm{C}]$ пересечения нет, а значит и нет состояния чистого льда на диаграмме. Вид искомой диаграммы изображен на рисунке.