Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.5. Удаление со льда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

LVII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Комплект задач подготовлен

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс

9-T1. Ольга Инишева, Андрей Уймин
9-T2. Андрей Жигар
9-T3. Денис Рубцов
9-T4. Антон Вергунов, Андрей Уймин
9-T5. Константин Парфёнов

10 класс

10-T1. Андрей Уймин
10-T2. Антон Вергунов, Андрей Уймин
10-T3. Александр Аполонский, Андрей Уймин
10-T4. Андрей Уймин
10-T5. Александр Аполонский

11 класс

11-T1. Александр Аполонский, Константин Парфёнов
11-T2. Александр Аполонский, Андрей Уймин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Андрей Уймин
11-T5. Андрей Уймин

Условие

Два одинаковых небольших тяжёлых ящика покоятся на горизонтальной поверхности льда. Оба ящика находятся на одинаковом расстоянии $L = 0{,}8$ м от прямолинейного края ледяного поля. Уборщик, вооружённый длинным скребком (плоской прямоугольной пластиной с ручками), подъехал к первому ящику и прижал край скребка к одной из граней ящика. Для этого он развернул скребок так, что его край составил угол $\alpha_1 = 10^{\circ}$ с краем поля. Затем он двигал скребок поступательно из состояния покоя с постоянным ускорением $a$ , направленным перпендикулярно краю поля (см. рисунок). В результате ящик покинул поле за время $t_1 = 2$ с. Потом уборщик подъехал ко второму ящику и, действуя аналогично, вывез и его за край поля. Он снова вёз скребок поступательно с тем же ускорением, но в этот раз край скребка составлял с краем поля угол $\alpha_2 = 45^{\circ}$ . Известно, что коэффициент трения между льдом и обоими ящиками равен $\mu' = 1/24$ , а между скребком и обоими ящиками – $\mu = 7/24$ . Ускорение свободного падения $g = 10\ \text{м/с}^2$ . Скребок всё время движения расположен вертикально, ящик от скребка не отрывается.

Вид сверху: справа вертикальный заштрихованный край поля; наклонный отрезок скребка с отмеченным квадратом (ящиком) у края скребка, угол α между скребком и штриховой вертикалью; стрелки ускорения вправо у концов скребка; расстояние L от ящика до края поля; значок ⊗ g.

1. Определите ускорение $a$ скребка.

2. Во сколько раз путь второго ящика до края поля был больше, чем у первого?

3. За какое время $t_2$ второй ящик покинет лёд?

4. Во сколько раз сила трения между скребком и вторым ящиком больше, чем сила трения между скребком и первым ящиком?

Отговори

Решение

Возможны два различных режима движения ящика: без скольжения по скребку (рис. 1) и с проскальзыванием (рис. 2).

В первом режиме полная реакция опоры $\vec{Q}_c$ (результирующая силы нормальной реакции скребка $\vec{N}_{\text{с}}$ и силы трения $\vec{F}_{\text{тр(с)}}$ действующей на ящик со стороны скребка) направлена вдоль направления движения скребка, поэтому:

F_{\text{тр(с)}} = N_{\text{с}}\,\mathrm{tg}\,\alpha.

Поскольку сила трения покоя удовлетворяет соотношению $F_{\text{тр(с)}} \leqslant \mu N_{\text{с}}$ , то первый режим реализуется при условии:

\mathrm{tg}\,\alpha \leqslant \mu.

Если данное условие не выполняется, то реализуется второй режим. Во втором режиме сила трения $\vec{F}_{\text{тр(л)}}$ , действующая на ящик со стороны льда, направлена противоположно $\vec{Q}_{\text{с}}$ , поскольку ящик изначально неподвижен. При этом $\vec{Q}_c$ образует угол $\varphi = \mathrm{arctg}\,\mu$ с нормалью к поверхности скребка и угол $\beta = \alpha - \varphi$ с направлением ускорения скребка. Значит и направление движения ящика образует угол $\beta$ с направлением ускорения скребка.

Для первого ящика $\mathrm{tg}\,\alpha_1 \approx 0{,}176 < \mu$ , значит он движется без скольжения по скребку. Для второго ящика $\mathrm{tg}\,\alpha_2 = 1 > \mu$ , и для него реализуется второй режим. Тогда путь первого ящика до границы ледяного поля $s_1 = L$ , а значит ускорение скребка:

a = \frac{2L}{t_1^2} = \frac{2 \cdot 0{,}8}{4}\ \text{м/с}^2 = 0{,}4\ \text{м/с}^2

Наклонный скребок с ящиком (квадрат) у его края; от ящика горизонтальная стрелка Q⃗с; у концов скребка стрелки ускорения вправо; угол α между скребком и штриховой вертикалью. — Рис.1

Наклонный скребок с ящиком (квадрат); от ящика стрелка Q⃗с, составляющая угол φ со штриховой нормалью к скребку и угол β со штриховой горизонталью; стрелки ускорения вправо у концов скребка; угол α между скребком и вертикалью. — Рис.2

Найдём путь $L_2$ второго ящика, зная, что его направление движения образует угол $\beta$ с направлением ускорения скребка и ящик двигался из состояния покоя:

L_2 \cdot \cos(\beta) = L

Следовательно, отношение путей второго и первого ящиков:

\frac{L_2}{L} = \frac{1}{\cos\beta} = \frac{1}{\cos(\alpha_2 - \varphi)} \approx 1{,}14

Поскольку второй ящик движется без отрыва от скребка – проекции скорости ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка в любой момент должны быть одинаковы:

v_n = v_{\text{я}(n)}.

Тогда, поскольку ящик и скребок движутся поступательно – проекции ускорений ящика и скребка на направление нормали к поверхности скребка также должны совпадать:

a_n = a_{\text{я}(n)}.

Векторы ускорения $\vec{a}$ и $\vec{a}_{\text{я}}$ образуют углы $\alpha_2$ и $\varphi$ соответственно с нормалью к поверхности скребка:

a\cos\alpha_2 = a_{\text{я}}\cos\varphi.

Тогда во втором режиме для времени $t_2$ движения ящика до края поля находим:

t_2 = \sqrt{\frac{2L_2}{a_{\text{я}}}} = \sqrt{\frac{2L}{a}\frac{\cos\varphi}{\cos\alpha_2\cos(\alpha_2 - \varphi)}} = t_1\sqrt{\frac{\cos\varphi}{\cos\alpha_2\cos(\alpha_2 - \varphi)}}.

t_2 = t_1\sqrt{\frac{\cos\varphi}{\cos\alpha_2\cos(\alpha_2 - \varphi)}} \approx 2{,}5\ \text{с}.

Для нахождения силы трения между первым ящиком и скребком расставим силы, действующие на ящик, и запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, параллельную плоскости скребка:

ma\sin\alpha_1 = F_{\text{тр(с)}1} - \mu' mg\sin\alpha_1; F_{\text{тр(с)}1} = m\sin\alpha_1\left(a + \mu' g\right).

Для второго ящика из второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную вдоль нормали к поверхности скребка, получим:

ma_{\text{я}(n)} = ma\cos\alpha_2 = N_{\text{с}} - \mu' mg\cos\varphi \Rightarrow F_{\text{тр(с)}2} = \mu m\left(\mu' g\cos\varphi + a\cos\alpha_2\right).

Таким образом, отношение сил трения между скребком и ящиком в двух режимах:

\frac{F_{\text{тр(с)}2}}{F_{\text{тр(с)}1}} = \frac{\mu\left(\mu' g\cos\varphi + a\cos\alpha_2\right)}{\sin\alpha_1\left(a + \mu' g\right)} \approx 1{,}4.

Оригинал в Архива: Ru24T.pdf