ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.1. Падение в бездну

• 1. $L = \sqrt{3}S$
• 2. $S_\infty = \sqrt{3}S,\quad S_{min} = \frac{3S}{2}$

1. Пусть $m$ – масса шарика, ускорение свободного падения равняется $\vec{g}$, а сила сопротивления, действующая на шарик, определяется выражением $\vec{F}_{\text{с}} = -k\vec{v}$, где $\vec{v}$ – скорость движения шарика. Запишем для одного шарика второй закон Ньютона:

Проецируя уравнение на горизонтальную ось $x$, получим:

где $\Delta x$ – установившееся горизонтальное перемещение шарика с начальной горизонтальной компонентой скорости $v_{0x}$. Если $v_{0x} = v_0$, где $v_0$ – начальная скорость шариков при бросании, то $\Delta x = S$. Тогда для шарика, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту, получим:

Шарики, одновременно брошенные Глюком и Багом горизонтально и под углом $\alpha = 60^{\circ}$ к горизонту соответственно так, как показано на рис. 2 в условии задачи, в установившемся режиме движутся вдоль одной вертикальной прямой. Значит, расстояние между плоскостями обрывов $l = L\cos\varphi = L\sqrt{3}/2$ является суммой величин горизонтальных перемещений брошенных шариков. Таким образом:

откуда:

2. Первое решение:

Запишем второй закон Ньютона для шариков, брошенных Глюком и Багом:

Определим ускорение шарика Глюка относительно шарика Бага:

Поскольку относительное ускорение шариков направлено противоположно направлению их относительной скорости – относительная скорость шариков сохраняет своё направление. Значит, относительное движение шариков будет прямолинейным и прекратится, когда они окажутся на одной вертикали. Изобразим траекторию движения шарика Глюка относительно шарика Бага. Обратим внимание, что линия, соединяющая Глюка и Бага, образует с вертикалью угол $90^{\circ} - \varphi = 60^{\circ}$. Поскольку направление относительной скорости образует угол $\alpha/2$ с горизонтом, угол между направлением относительного перемещения шариков и линией, соединяющей Глюка и Бага, равен $\varphi + \alpha/2 = 60^{\circ}$. Таким образом, показанный на рисунке треугольник является равносторонним. Тогда расстояние $S_\infty$ между шариками в установившемся режиме составляет:

или же:

Минимальное расстояние между шариками $S_{min}$ достигается в момент, когда относительная скорость шариков направлена перпендикулярно соединяющей их линии. Из рисунка находим:

или же:

Второе решение:

Введём систему координат $xOy$, где начало координат $O$ находится в месте расположения Глюка, ось $x$ направлена вправо, а ось $y$ – вертикально вверх. Получим зависимости от времени горизонтальных и вертикальных компонент перемещений одного камня $\Delta x$ и $\Delta y$ соответственно. Спроецируем уравнение движения шарика на горизонтальную ось $x$:

Пусть $v_{x0}$ – начальная проекция скорости шарика на ось $x$. Интегрируя, получим:

Интегрируя повторно, получим:

Таким образом, разность $x$ координат шариков Бага и Глюка составляет:

С учётом соотношения $S = v_0/\beta$ получим:

Спроецируем уравнение движения шарика на ось $y$, направленную вертикально вверх:

Пусть $v_{y0}$ – начальная проекция скорости шарика на ось $y$. Интегрируя, получим:

Для $\Delta y(t)$ имеем:

откуда:

Таким образом, разность $y$ координат шариков Бага и Глюка составляет:

С учётом соотношения $S = v_0/\beta$ получим:

При $t \to \infty$ имеем:

Таким образом $S_\infty = \Delta y_{\text{отн}}(\infty)$, а значит:

Пусть $(1 - e^{-\beta t}) = z$. Тогда для расстояния $r(z)$ между камнями имеем:

Раскрывая скобки, получим:

Подставляя углы $\alpha$, $\varphi$, а также расстояние $L$:

Расстояние достигает своего минимума при минимальном значении подкоренного выражения, которому соответствует вершина параболы:

Таким образом: