ВсОШ 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.2. Столкновение на спице

• 1. $v_1 = \sqrt{\frac{gL}{1 + m_1/m_2}},\quad v_2 = \frac{m_1}{m_2}\sqrt{\frac{gL}{1 + m_1/m_2}}$
• 2. $T_1 = m_1g\left(1 + \frac{m_1}{2m_2}\right),\quad T_2 = \left(m_1 + m_2 + \frac{m_1^2}{2m_2}\right)g$

1. Поскольку цилиндры являются невесомыми, равнодействующая приложенных к ним сил в любой момент должна быть равна нулю. Так как трения между спицей и цилиндрами нет, спица действует на цилиндры в направлении, перпендикулярном спице, то есть в вертикальном. До столкновения цилиндров на них действуют только силы натяжения нитей и силы реакции со стороны спицы. Тогда условие равенства нулю равнодействующей приложенных к цилиндрам сил возможно, если участки нитей, соединяющие цилиндры с бусинкой и грузом, в любой момент ориентированы вертикально. Из этого следует, что столкновение цилиндров произойдёт в момент, когда бусинка, груз и цилиндры будут расположены практически на одной вертикали.

Обратим внимание, что скорость груза в любой момент направлена горизонтально. В момент столкновения цилиндров скорость бусинки также направлена горизонтально. Пусть $v_{\text{отн}}$ – скорость относительного движения бусинки и груза в момент столкновения цилиндров. Определим $v_{\text{отн}}$ из закона сохранения механической энергии. К рассматриваемому моменту вертикальное перемещение бусинки направлено вниз и равно $L/2$, так как нити являются нерастяжимыми. Поскольку система замкнута в направлении спицы – её импульс в данном направлении равен нулю. Отсюда получим связь скоростей $v_1$ и $v_2$ бусинки и груза соответственно с величиной их относительной скорости $v_{\text{отн}}$ в момент столкновения цилиндров:

Запишем закон сохранения механической энергии:

Находим скорости $v_1$ и $v_2$ бусинки и груза соответственно непосредственно перед столкновением цилиндров:

2. В момент столкновения цилиндров все силы, действующие на бусинку и груз, являются вертикальными. Поскольку груз может перемещаться только по горизонтали, его ускорение в рассматриваемый момент равно нулю.

Пусть $a_1$ – проекция ускорения бусинки в момент столкновения цилиндров на ось, направленную вертикально вверх. Из второго закона Ньютона для бусинки и груза получим:

откуда:

Таким образом, для решения задачи необходимо определить $a_1$. Далее можно действовать разными способами.

Первый способ:

Пусть $\vec{a}_{\text{б}}$ и $\vec{a}_{\text{г}}$ – ускорения бусинки и груза относительно лабораторной системы отсчёта, а $\vec{a}_{\text{отн}}$ – ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом. Тогда ускорение бусинки можно представить в следующем виде:

Обратим внимание, что в рассматриваемый момент ускорение груза равняется нулю. Значит, в рассматриваемый момент ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом, направлено вертикально вверх и равно $a_1$. Дальнейшее решение задачи проведём в системе отсчёта, связанной с грузом. Непосредственно перед столкновением цилиндров относительная скорость бусинки и груза направлена горизонтально, значит:

где $\rho$ – радиус кривизны траектории бусинки при движении в системе отсчёта груза.

Проанализируем траекторию относительного движения бусинки и груза. В системе отсчёта груза введём систему координат $xOy$ с началом в нижней точке траектории бусинки относительно груза (см. рис). Запишем условие постоянства длины нити 1:

Таким образом, траектория движения бусинки в системе отсчёта груза представляет собой параболу.

Определим радиус кривизны $\rho$ в вершине параболы, используя аналогию со свободным полётом материальной точки в поле тяжести.

Пусть скорость материальной точки в некоторый момент равна $v_0$ и направлена горизонтально. Материальная точка движется в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения $g$, направленным вертикально вниз. Введём систему координат $xOy$, где $O$ – положение точки в рассматриваемый момент, ось $x$ направлена горизонтально, а ось $y$ направлена вертикально вниз. Тогда через прошедшее время $t$ от рассматриваемого момента:

Величина $p$ называется фокальным параметром параболы. Определим радиус кривизны $\rho_0$ траектории материальной точки в вершине параболы. Из второго закона Ньютона в рассматриваемый момент:

Вернёмся к определению радиуса кривизны траектории бусинки в системе отсчёта груза в момент столкновения цилиндров. Фокальный параметр параболы для траектории относительного движения бусинок равен $L$, поэтому радиус кривизны траектории относительного движения бусинок в рассматриваемый момент составляет:

Примечание: Тот же результат может быть получен из непосредственного анализа кривой, задающей траекторию относительного движения бусинки и груза.

Рассмотрим произвольную кривую, заданную зависимостью $y(x)$. Пусть $\varphi$ – угол наклона касательной к кривой. Тогда:

Радиус кривизны произвольной плоской кривой определяется выражением:

где $dl$ – элемент длины кривой, а $d\varphi$ – угол между касательными к кривой на концах выделенного элемента. Но $dl = dx/\cos\varphi$, поэтому:

Но $1/\cos^2\varphi = 1 + \mathrm{tg}^2\,\varphi = 1 + y'^2$, поэтому:

Применим полученное выражение в случае рассмотрения траектории движения бусинки относительно груза. Определим $y'$ и $y''$:

Тогда в точке с координатой $x = 0$:

Таким образом:

Второй способ:

В рассматриваемый момент тангенциальное ускорение бусинки равно нулю, поэтому её ускорение $a_1$ определяется выражением:

где $\rho_1$ – радиус кривизны траектории бусинки в рассматриваемый момент. Проанализируем траекторию бусинки в лабораторной системе отсчёта. Введём систему координат $xOy$ с началом в нижней точке траектории бусинки. Направления координатных осей совпадают с введёнными на рисунке к первому способу решения. Центр масс системы не перемещается вдоль оси $x$, поэтому:

Запишем условие постоянства длины нити 1:

Отсюда:

Таким образом, траектория движения бусинки в лабораторной системе отсчёта является параболой. Поиск радиуса кривизны в её вершине уже был осуществлён в рамках первого решения, поэтому:

Таким образом:

Третий способ:

Пусть $\vec{a}_{\text{б}}$ и $\vec{a}_{\text{г}}$ – ускорения бусинки и груза относительно лабораторной системы отсчёта, а $\vec{a}_{\text{отн}}$ – ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом. Тогда ускорение бусинки можно представить в следующем виде:

Обратим внимание, что в рассматриваемый момент ускорение груза равняется нулю. Значит, в рассматриваемый момент ускорение бусинки в системе отсчёта, связанной с грузом, направлено вертикально вверх и равно $a_1$. Дальнейшее решение задачи проведём в системе отсчёта, связанной с грузом. Рассмотрим условие постоянства длины нити 1. Пусть в некоторый момент участок нити 1, соединяющий бусинку с грузом, образует угол $\varphi$ с вертикалью. Найдём угол $\theta$ между направлением скорости бусинки относительно груза и горизонтом. Поскольку скорости цилиндров направлены горизонтально, длина вертикального участка нити 1, соединяющего бусинку с цилиндром, изменяется со скоростью $u_{\text{бц}}$, равной:

Длина участка нити 1, соединяющего бусинку с грузом, изменяется со скоростью $u_{\text{бг}}$, равной:

Поскольку длина нити 1 остаётся постоянной:

Этот результат можно также получить из условия направления скорости бусинки вдоль биссектрисы внешнего угла между участками нити 1 (см. рис). Это является следствием оптического свойства параболы.

В рассматриваемый момент тангенциальное ускорение бусинки в рассматриваемой системе отсчёта равняется нулю, поэтому для проекции ускорения бусинки $a_1$ на ось, направленную вертикально вверх, имеем:

Найдём величину $\dot{\varphi}$. Поскольку в рассматриваемый момент расстояние между бусинкой и грузом равно $L/2$:

Подставляя $\dot{\varphi}$ в выражение для $a_1$, получим:

Четвёртый способ:

Обозначим за $y$ смещение бусинки в направлении «вертикально вниз», за $x$ – расстояние между цилиндрами, а за $r$ – длину участка нити 1, соединяющего груз и бусинку. Пусть в некоторый момент участок нити 1, соединяющий груз и бусинки, образует угол $\varphi$ с вертикалью, тогда $y = x\,\mathrm{ctg}\,\varphi$ и $r = x/\sin\varphi$. Из условия нерастяжимости нити получим:

Отсюда:

В рассматриваемый момент $\varphi = 0$. Далее нижний индекс 0 соответствует рассматриваемому моменту. В рассматриваемый момент проекция ускорения бусинки на ось, направленную вертикально вверх, определяется выражением $a_1 = -d^2y_0/dt^2$. Дифференцируя $y$ по времени, получим:

Продифференцируем по времени величину $dy/dt$:

Поскольку в рассматриваемый момент $\varphi = 0$:

Определим величину $\dot{\varphi}_0$. Для этого продифференцируем по времени выражение для $x$:

В рассматриваемый момент $\varphi = 0$, а $dx/dt = -v_{\text{отн}}$. Тогда:

Таким образом:

Подставляя $a_1$ в выражения для $T_1$ и $T_2$, находим: