Съдържание

ВсОШ 2024, Регионален етап, 10. клас — Задача 2. Шайбами по барабану

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике, 30 января 2024 г. 10 класс. Теоретический тур · 30 януари 2024 г.

Условие

На гладкой горизонтальной поверхности лежит большой твёрдый цилиндрический барабан массой $M$ и радиусом $R$ . Две одинаковые маленькие, но тяжёлые шайбы массами $m = 2M$ скользят по поверхности с одинаковыми неизвестными скоростями $v_0$ вдоль одной прямой, пересекающей барабан. Расстояние между точками пересечения этой прямой с боковой поверхностью барабана равно $S$ . Шайба 1 сталкивается с барабаном на мгновение раньше, чем с ним столкнулась бы шайба 2, если бы не было столкновения с шайбой 1. Если расстояние $S$ равно $S_1 = R/2$ , то после всех соударений шайб с барабаном скорость последнего оказалась равной $u_1$ . Считайте известным, что во всех случаях шайбы друг с другом не сталкиваются. Трения между шайбами и барабаном нет, барабан никогда не отрывается от поверхности, а все их столкновения являются упругими и настолько быстрыми, что барабан никогда не контактирует с обеими шайбами одновременно.

Вид сверху: окружность (барабан) с центром M, два радиуса R к точкам пересечения горизонтальной штриховой прямой с окружностью; слева шайба 1 массой m со скоростью v₀ вправо, справа шайба 2 массой m со скоростью v₀ влево; расстояние между точками пересечения обозначено S.

1. Определите величину скорости $v_0$ налетавших шайб.

2. Чему будет равна скорость барабана $u_2$ , если расстояние $S$ изменить до значения $S_2 = R$ ?

Отговори

Решение

Определим скорость барабана после соударения с шайбой 1. Поскольку трения между шайбами и барабаном нет – все их удары центральные, и движение всех тел остается поступательным, а проекции скоростей тел на ось, перпендикулярную линии центров, остаются постоянными в процессе соударения. Введём вдоль линии центров ось $y$ , направленную от шайбы 1 к центру барабана. Пусть $\alpha$ – угол между вектором скорости шайбы 1 и линией центров. Запишем систему из закона сохранения импульса в проекции на ось $y$ и закона сохранения энергии:

\begin{cases} mv_0\cos\alpha = Mv_{M1} + mv_{1y} \quad \text{ЗСИ} \\ \dfrac{mv_0^2\cos^2\alpha}{2} + \dfrac{mv_0^2\sin^2\alpha}{2} = \dfrac{mv_{1y}^2}{2} + \dfrac{mv_0^2\sin^2\alpha}{2} + \dfrac{Mv_{M1}^2}{2} \quad \text{ЗСЭ} \end{cases}

Решая записанную систему уравнений, находим:

v_{M1} = v_0\cos\alpha + v_{1y} = 2v_0\cos\alpha - \frac{Mv_{M1}}{m} \Rightarrow v_{M1} = \frac{2mv_0\cos\alpha}{m+M}.

Получим условие, при котором будет столкновение между шайбой 2 и барабаном. Если ввести ось $z$ , направленную от шайбы 2 к центру барабана, то условие столкновения будет заключаться в том, что проекция скорости барабана относительно шайбы 2 на ось $z$ будет отрицательной, т.е при условии:

v_{z(\text{отн})} = -v_{M1}\cos 2\alpha - v_0\cos\alpha = -v_0\cos\alpha\left(1 + \frac{2m\cos 2\alpha}{m+M}\right) < 0.

Поскольку $\cos\alpha > 0$ , данное условие можно записать следующим образом:

1 + \frac{2m\cos 2\alpha}{m+M} = 1 + \frac{2m(2\cos^2\alpha - 1)}{m+M} > 0 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{S}{2R} > \sqrt{\frac{1}{4}\left(1 - \frac{M}{m}\right)} = \frac{1}{2\sqrt{2}},

или же при условии:

S > \frac{R}{\sqrt{2}}.

Данное условие не выполнено при $S_1 = R/2$ , поэтому столкновения между барабаном и шайбой 2 не будет, а значит $v_{M1} = u_1$ :

u_1 = \frac{mv_0}{m+M}\frac{S_1}{R} = \frac{v_0}{3}.

Таким образом:

v_0 = 3u_1.

При $S_2 = R$ столкновение между барабаном и шайбой 2 будет, при этом $\alpha_2 = 60^{\circ}$ . В системе отсчёта, движущейся со скоростью $\vec{v}_{M1}$ , соударение сводится к рассмотренному ранее. В данной системе отсчёта проекция $v_{2z}$ скорости шайбы 2 на ось $z$ равняется:

v_{2z} = v_0\cos\alpha + v_{M1}\cos 2\alpha = \frac{v_0}{2} + \frac{2v_0}{3}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{v_0}{6}.

В указанной системе отсчёта скорость барабана сразу после соударения равна:

v_{M2} = \frac{2mv_{2y'}}{m+M} = \frac{2v_0}{9}.

Обратим внимание, что проекция скорости $\vec{v}_{M2}$ на ось $y$ является положительной, а значит, повторного столкновения барабана с шайбой 1 не будет.

Для скорости $u_2$ имеем:

u_2 = \sqrt{v_{M1}^2 + v_{M2}^2 - 2v_{M1}v_{M2}\cos 2\alpha},

откуда:

u_2 = \frac{2\sqrt{13}u_1}{3}.

Примечание внизу страницы

После олимпиады решения на os.mipt.ru.

Оригинал в Архива: 10T.pdf · официални решения: 10T-s.pdf