Съдържание

ВсОШ 2024, Регионален етап, 10. клас — Задача 3. Загогулина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике, 30 января 2024 г. 10 класс. Теоретический тур · 30 януари 2024 г.

Условие

Изогнутая в трех местах металлическая трубка состоит из четырех прямых параллельных участков: трех – одинаковой длины $l$ и четвертого, длина которого существенно больше (см. рисунок). Длина изогнутых участков трубки мала по сравнению с $l$ , их объемом можно пренебречь. Площадь внутреннего сечения трубки $S$ , поперечные размеры трубки также много меньше $l$ . Трубка установлена вертикально открытыми концами вверх. В самое длинное колено начинают медленно наливать воду.

Плотность воды – $\rho$ , атмосферное давление $p_0$ , ускорение свободного падения $g$ . Все процессы в трубке протекают при постоянной температуре. Капиллярными эффектами и влиянием колебаний уровня воды можно пренебречь.

Изогнутая трубка из четырёх вертикальных параллельных участков, открытая сверху: слева длинное колено, затем три колена одинаковой длины l (размер l отмечен справа); над трубкой подпись p₀.

1. До какой высоты вода заполнит левое колено трубки к моменту, когда она начнет вытекать из крайнего правого колена? Считайте, что из левого колена вода не вытекает.

2. Какой объем воды будет находиться в трубке в этот момент?

Отговори

Решение

После заполнения водой второго слева вертикального участка, вода начнет стекать в третье колено, заполнит перемычку внизу между третьим и четвёртым и «отсечёт» воздух в третьем колене от атмосферного. Образуется воздушная «пробка», давление p внутри которой по мере заполнения четвёртого колена будет возрастать. Запишем условия равновесия (равенства давлений) для первого и второго вертикальных участков трубки:

p_0 + \rho gH = p + \rho gl. \qquad (1)

Для третьего и четвертого

p_0 + \rho gl = p + \rho g(l-x).

Вычитая эти уравнения, получим

H - l = x.

Поскольку воздух внутри трубки начал сжиматься от объёма, соответствующего одному вертикальному участку, то по закону Бойля-Мариотта:

p_0 lS = pxS.

Из последних двух уравнений находим:

p = \frac{p_0 l}{H-l}.

Подставляем это в уравнение (1):

p_0 + \rho gH = \frac{p_0 l}{H-l} + \rho gl.

Избавимся от знаменателя в правой части и перегруппируем:

\rho g(H-l)^2 + p_0(H-l) - p_0 l = 0.

Обозначив для удобства $p_0/g = l_0$ , решаем квадратное уравнение, оставляя только имеющий физический смысл положительный корень:

H = l + \frac{1}{2}\left(\sqrt{l_0^2 + 4l_0 l} - l_0\right).

Объём налитой воды можно определить по суммарной длине трубы, занятой водой:

V = S(H + 3l - x) = 4Sl.

Та же трубка, частично заполненная водой (голубым): в левом колене вода до высоты H, во втором колене до верха, в третьем колене воздушная пробка с давлением p высотой x, четвёртое колено заполнено до верха; отмечены H, p, x, l и p₀.

Примечание внизу страницы

После олимпиады решения на os.mipt.ru.

Оригинал в Архива: 10T.pdf · официални решения: 10T-s.pdf