Съдържание

ВсОШ 2024, Регионален етап, 10. клас — Задача 4. Источник стабильности

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике, 30 января 2024 г. 10 класс. Теоретический тур · 30 януари 2024 г.

Условие

Готовясь к олимпиаде по физике, десятиклассник Денис собрал электрическую цепь (см. рис. а), состоящую из четырёх одинаковых амперметров, диода и регулируемого источника тока. Полярность подключения амперметров и направление тока через источник указаны на схеме, а зависимость силы тока, протекающего через диод, от напряжения на нём представлена на рис. б. Изменяя силу тока $I_0$ , выдаваемую источником, Денис выяснил, что зависимость силы тока через один из амперметров от $I_0$ имеет вид, изображённый на рис. в, где $I_1$ — известный параметр.

Схема: диод и амперметр A₃ в верхней ветви, амперметр A₂ между узлом после диода и средним узлом, амперметры A₁ и A₄ в средней ветви, внизу источник тока (символ ⟨⟨) с током I₀, направленным влево; у амперметров отмечены полярности + и −. — а)

Вольт-амперная характеристика диода: оси U и I, начало 0; ток равен нулю при напряжениях до некоторого положительного значения, затем вертикальный участок. — б)

График I_A от I₀: прямая из начала координат до точки (I₁; 2I₁/3), отмеченной штриховыми линиями, далее прямая с меньшим наклоном. — в)

1. Для какого из амперметров ( $\mathrm{A}_1$ , $\mathrm{A}_3$ или $\mathrm{A}_4$ ) справедлива зависимость, изображённая на рис. в? Свой ответ обоснуйте.

2. Определите, при каком значении $I_0$ ток через амперметр $\mathrm{A}_2$ не течёт.

3. Постройте качественный график зависимости показаний амперметра $\mathrm{A}_2$ от силы тока через источник, указав на нём координаты характерных точек.

Примечание: Источником тока называется устройство, через которое течёт заданный ток, независимо от параметров внешней цепи.

Отговори

Решение

Рассмотрим малые значения силы тока $I_0$ , при которых диод будет закрыт. В этом случае эквивалентная схема примет вид, изображённый на рисунке. Найдём токи, текущие через амперметры. Сила тока через $\mathrm{A}_1$ равна $I_0$ . Так как $\mathrm{A}_4$ присоединён параллельно к паре амперметров $\mathrm{A}_2$ и $\mathrm{A}_3$ , а его сопротивление вдвое меньше, чем суммарное сопротивление второго и третьего прибора, сила тока через $\mathrm{A}_4$ будет равна $2I_0/3$ . Сила тока, текущего через $\mathrm{A}_2$ и $\mathrm{A}_3$ , следовательно, станет $I_0/3$ . На графике, представленном в условии, участок идущий от начала координат описывается уравнением $I = 2I_0/3$ , что соответствует результату, полученному для четвёртого амперметра.

Пусть $r$ — сопротивление амперметра. Определим сначала напряжение открытия диода $U_D$ . Так как характер зависимости тока через четвёртый амперметр от $I_0$ меняется при $I_0 = I_1$ , это значение соответствует тому, что напряжение на диоде достигло $U_D$ , но ток через диод ещё равен нулю (переход от горизонтального участка ВАХ прибора к вертикальному). Запишем условие равенства напряжения на диоде суммарному напряжению на первом и втором амперметре при $I_0 = I_1$

U_D = I_1 r + \frac{I_1}{3}\cdot r = \frac{4I_1 r}{3}.

Ситуация, когда ток через второй амперметр не течёт, во-первых, может произойти только при открытом диоде. Во-вторых, если ток через $\mathrm{A}_2$ не течёт, то напряжения на $\mathrm{A}_3$ и $\mathrm{A}_4$ равны, что означает равенство токов через них:

I_{A3} = I_{A4} = \frac{I_0}{2}.

Соответственно, должны быть равны напряжения на первом амперметре и диоде. Поскольку в рассматриваемом случае $I_{A1} = I_{A4}$ ,

U_D = I_{A1}r \quad\Rightarrow\quad \frac{4I_1 r}{3} = \frac{I_0}{2}\cdot r \quad\Rightarrow\quad I_0 = \frac{8I_1}{3}.

Пока диод закрыт, то есть при $I_0 < I_1$ , сила тока через второй амперметр равна $I_{A2} = I_0/3$ . Если $I_0 > I_1$ , напряжение на диоде постоянно и равно $U_D = 4I_1 r/3$ . Чтобы построить ту часть искомого графика, которая соответствует открытому диоду, можно рассуждать одним из двух способов.

Способ 1. ВАХ диода состоит из двух прямолинейных участков — горизонтального и вертикального. Поэтому, если находиться в пределах только одного участка (в данном случае, вертикального), диод можно считать линейным элементом. Остальные элементы цепи, представленной в условии, тоже имеют прямолинейные ВАХ, то есть также являются линейными. Следовательно, зависимость силы тока на втором амперметре от $I_0$ при $I_0 > I_1$ является линейной. Отсюда, учитывая, что график этой зависимости должен проходить через точки $(I_1; I_1/3)$ и $(8I_1/3; 0)$ , получим график, изображённый на рисунке.

Способ 2 Расставим токи в цепи при $I_0 > I_1$ , учитывая, что напряжение на диоде равно $U_D$ . Пусть сила тока через второй амперметр равна $I_{A2}$ . Тогда, исходя из равенства суммы напряжений на $\mathrm{A}_1$ и $\mathrm{A}_2$ напряжению на диоде, получим, что ток через первый амперметр

I_{A1} = \frac{U_D - I_{A2}r}{r} = \frac{U_D}{r} - I_{A2}.

Соответственно, токи через $\mathrm{A}_3$ и $\mathrm{A}_4$ будут равны

I_{A4} = I_{A1} - I_{A2} = \frac{U_D}{r} - 2I_{A2},

I_{A3} = I_0 - I_{A4} = I_0 - \frac{U_D}{r} + 2I_{A2}.

Так как сумма напряжений на $\mathrm{A}_2$ и $\mathrm{A}_3$ должна быть равна напряжению на $\mathrm{A}_4$ ,

I_{A4}r = I_{A2}r + I_{A3}r \quad\Rightarrow\quad \frac{U_D}{r} - 2I_{A2} = I_0 - \frac{U_D}{r} + 3I_{A2}.

Отсюда, используя равенство $U_D = 4I_1 r/3$ , найдём, что

I_{A2} = \frac{2U_D}{5r} - \frac{I_0}{5} = \frac{8I_1}{15} - \frac{I_0}{5}.

Далее строим графики зависимостей $I_{A2} = I_0/3$ при $I_0 < I_1$ и $I_{A2} = 8I_1/15 - I_0/5$ при $I_0 > I_1$ и получаем тот же рисунок, что и в Способе 1.

Эквивалентная схема при закрытом диоде: амперметры A₁, A₂, A₃, A₄ и источник тока; подписаны токи I₀ через A₁ и источник, 2I₀/3 через A₄ и I₀/3 по контуру через A₂ и A₃.

График I_A2 от I₀: прямая из 0 до максимума I₁/3 при I₀ = I₁ (штриховые линии), затем убывающая прямая до нуля при 8I₁/3.

Тот же график I_A2 от I₀: рост от 0 до I₁/3 при I₀ = I₁, затем линейное убывание до нуля при 8I₁/3.

Примечание внизу страницы

После олимпиады решения на os.mipt.ru.

Оригинал в Архива: 10T.pdf · официални решения: 10T-s.pdf