ВсОШ 2024, Регионален етап, 10. клас — Задача 5. В фокусе внимания

• Построение: для собирающей линзы ГОО проводится через F параллельно преломлённому лучу, плоскость линзы — перпендикуляр к ГОО из точки преломления; для рассеивающей линзы возможны два положения оптического центра (O₁ и O₂).

Возможны два случая – линза собирающая и линза рассеивающая. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Собирающая линза.

Луч, прошедший через фокус собирающей линзы, после преломления в ней идёт параллельно главной оптической оси. Таким образом, из рисунка нам известно направление главной оптической оси (далее – ГОО) и одна из её точек ($F$). По этим данным восстанавливаем положение ГОО. Для этого проводим через $F$ прямую, параллельную лучу после преломления. Плоскость линзы перпендикулярна ГОО и нам известна одна из её точек - точка, где преломляется луч. Положение плоскости линзы восстанавливаем проведением перпендикуляра к ГОО из точки преломления луча.

Рассеивающая линза.

Фокус линзы $F$, её оптический центр $O$ и точка преломления луча образуют прямоугольный треугольник. Построим на отрезке (как на диаметре), соединяющем фокус и точку преломления луча, окружность. Оптический центр должен лежать на этой окружности. Из формулы тонкой линзы (или используя тот факт, что параллельный пучок лучей после преломления на рассеивающей линзе идёт так, что продолжения пересекаются в одной точке фокальной плоскости) можно показать, что луч, прошедший через фокус рассеивающей линзы, после преломления идёт так, как будто прошёл через половинный фокус. Продлим луч, который преломился в линзе – он должен делить пополам отрезок $OF$. Построим вспомогательный луч, параллельный продолжению преломленного луча и находящийся в два раза дальше от точки $F$. Он пройдет через оптический центр линзы, не отклоняясь от своего первоначального направления. Таким образом, оптический центр линзы может находится в точках пересечения вспомогательного луча с окружностью. В нашем случае таких пересечений два (точки $O_1$ и $O_2$). Значит, возможны два варианта расположения рассеивающей линзы. В каждом варианте плоскость линзы проходит через точку преломления исходного луча и соответствующий оптический центр.

Отметим, что в случае рассеивающей линзы для двух полученных решений известный нам луч идет под разными углами к ГОО линзы, которые по построению связаны между собой. Если обозначить за ${}_1$ угол между лучом и $FO_1$ и за ${}_2$ — угол между лучом и $FO_2$, то можно показать, что $\operatorname{tg}{}_1\cdot\operatorname{tg}{}_2 = 1/2$. Следовательно, только один из этих лучей может являться параксиальным — ведь если один из этих углов мал ($\operatorname{tg} 1$), то другой должен иметь достаточно большое значение тангенса. Может быть и так, что оба угла не являются малыми. Поэтому только свойство линзы, указанное в «Примечании» условия, позволяет нам считать, что оба решения корректны.