Съдържание

ВсОШ 2024, Регионален етап, 11. клас — Задача 1. Вспоминая 90-е

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике — 11 класс — Теоретический тур · 30 януари 2024 г.

Условие

Вспоминая 1997 год, теоретик Баг продолжил исследования следующей ситуации: Доска $a$ лежит на такой же доске $b$ . Они, как единое целое, движутся с некоторой скоростью по гладкой горизонтальной поверхности и сталкиваются с такой же доской $c$ , верхняя поверхность которой покрыта тонким слоем резины. Трения между досками $a$ и $b$ нет, а трения между досками $a$ и $c$ есть. При ударе доски $b$ и $c$ прочно сцепляются. Длина досок равна $L$ . Доска $a$ перестала перемещаться относительно досок $b$ и $c$ в момент, когда она целиком расположилась на доске $c$ . Найдите перемещение $\Delta x$ доски $a$ от момента соударения до момента прекращения относительного движения досок.

Доска a на доске b движется вправо к доске c; показаны стрелки скорости v, тяжести g и длина L.

Отговори

Решение

Пусть $v_0$ - скорость досок $a$ и $b$ до соударения с доской $c$ , а $m$ - масса каждой из досок. Поскольку трения между досками $a$ и $b$ нет, а доски $b$ и $c$ при ударе скрепляются - сразу после удара скорость доски $a$ равна $v_0$ , а скорость досок $b$ и $c$ равна $v_0/2$ из закона сохранения импульса.

Введём ось $x$ по направлению скорости $v_0$ . Поскольку горизонтальная поверхность гладкая - центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной $v_{\text{цм}}=2v_0/3$ . В момент удара центр масс системы опережает центр доски $a$ на величину $l/3$ , а к моменту, когда доска $a$ целиком оказалась на доске $c$ , центр масс системы отстаёт от центра доски на ту же величину $l/3$ . Тогда для перемещения доски $a$ получим:

\Delta x=\Delta x_{\text{цм}}+\frac{2l}{3}=\frac{2(v_0\tau+l)}{3}

где $\tau$ - время движения доски $a$ относительно досок $b$ и $c$ . Далее объединим доски $b$ и $c$ в одно тело массой $2m$ и будем характеризовать его индексом 2. Доску $a$ будем характеризовать индексом 1. Пусть $\vec F$ - сила трения, действующая на первое тело со стороны второго, а $x$ - их относительное перемещение после удара. Отметим, что трение происходит только в области перекрытия досок $a$ и $c$ . Величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции шероховатой части поверхности опоры, и поэтому $F_x=-\mu mgx/l$ . Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел:

m\vec a_1=\vec F\qquad 2m\vec a_2=-\vec F

откуда:

\vec a_1-\vec a_2=\vec a_{\text{отн}}=\frac{\vec F}{m}+\frac{\vec F}{2m}=\frac{2\vec F}{3m}

Тогда получим уравнение движения для переменной $x$ :

\ddot x=-\frac{2\mu gx}{3L}

Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0=\sqrt{2\mu g/3L}$ . Его общее решение:

x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_0)

Определим $A$ и $\varphi_0$ из начальных условий:

\begin{cases}x(0)=A\sin\varphi_0=0\\\dot x(0)=v_0/2=\omega A\cos\varphi_0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\varphi_0=0\\A=v_0/(2\omega)\end{cases}

Величина $A$ имеет смысл амплитуды колебаний, которая также равна $L$ , поскольку относительное движение досок прекращается, когда доска $a$ целиком оказывается на доске $c$ . Таким образом, имеем связь:

\frac{v_0}{2\omega}=L

Время движения $\tau$ является четвертью периода гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0$ , откуда:

\tau=\frac{\pi}{2\omega}

Тогда для перемещения центра масс имеем:

\Delta x_{\text{цм}}=\frac{2v_0\tau}{3}=\frac{2\pi L}{3}

и окончательно находим:

\Delta x=\Delta x_{\text{цм}}+\frac{2L}{3}=\frac{2(\pi+1)L}{3}

Бележка от източника

После олимпиады решения на os.mipt.ru.

Теми и трудност

Оценена трудност: 5/5.

Механика · Импулс и сблъсъци · Триене · Механични трептения

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: 11T.pdf · официални решения: 11T-s.pdf