Съдържание

ВсОШ 2024, Регионален етап, 11. клас — Задача 2. Нагревание насосом

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике — 11 класс — Теоретический тур · 30 януари 2024 г.

Условие

Сосуд с теплоизолирующими стенками заполнен атмосферным воздухом при температуре $T_0$ и давлении $p_0$ . Через небольшой клапан в стенке сосуда с помощью насоса, соединённого с клапаном, в сосуд начинают закачивать воздух. Малая порция воздуха из атмосферы поступает в насос, сжимается, после чего в результате теплообмена с окружающей средой охлаждается до температуры $T_0$ , при этом после охлаждения давление воздуха в насосе всегда незначительно выше, чем в сосуде. Затем открывается клапан, и порция воздуха из насоса поступает в сосуд при практически постоянных давлении и температуре, сразу после чего клапан закрывается. Воздух можно считать идеальным двухатомным газом. Теплопотерями за время, в течение которого клапан открыт, можно пренебречь. Считайте, что в процессе закачивания давление воздуха в насосе всегда больше, чем давление воздуха в сосуде, а газ, находящийся в сосуде, из него никогда не вытекает. В результате многократного повторения описанного процесса давление в сосуде повышается до $p_1$ .

1. Во сколько раз изменилось количество вещества газа в сосуде?

2. Найдите температуру $T_1$ в сосуде.

Отговори

Решение

Пусть $V$ – объём сосуда, $\nu_0$ – начальное количество вещества в сосуде, а $\Delta\nu$ – количество вещества, переместившееся в сосуд из атмосферы. Запишем уравнения состояния газа в сосуде до и после закачивания:

p_0V=\nu_0RT_0\qquad p_1V=(\nu_0+\Delta\nu)RT_1.

Пусть давление воздуха внутри насоса равняется $p_{\text{в}}$ , а $dV_{\text{в}}$ – объём, занимаемый порцией воздуха в количестве вещества $d\nu$ внутри насоса. При закачивании указанной порции воздуха в сосуд насос совершает механическую работу $\delta A_{\text{н}}$ , равную:

\delta A_{\text{н}}=p_{\text{в}}dV_{\text{в}}.

Но из уравнения Менделеева–Клапейрона $p_{\text{в}}dV_{\text{в}}=RT_0d\nu$ , поэтому:

\delta A_{\text{н}}=RT_0d\nu.

Таким образом, полная механическая работа насоса $A_{\text{н}}$ составляет:

A_{\text{н}}=\Delta\nu RT_0.

Запишем первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначального находившегося в сосуде газа и закаченного в него насосом:

A_{\text{н}}+U_0+U_1=U_{\text{к}}.

Здесь $U_0=\nu_0C_VT_0$ – начальная внутренняя энергия воздуха, изначально находившегося в сосуде, $U_1=\Delta\nu C_VT_0$ – сумма внутренних энергий закачиваемого воздуха на этапе закачивания в сосуд, $U_{\text{к}}=(\nu_0+\Delta\nu)C_VT_1$ – конечная внутренняя энергия рассматриваемой системы. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна $C_V=5R/2$ . Отсюда:

\Delta\nu RT_0+\frac{5\nu_0RT_0}{2}+\frac{5\Delta\nu RT_0}{2}=\frac{5(\nu_0+\Delta\nu)RT_1}{2}.

Таким образом:

\frac{T_1}{T_0}=\frac{5\nu_0+7\Delta\nu}{5(\nu_0+\Delta\nu)}=\frac{p_1}{p_0}\frac{\nu_0}{(\nu_0+\Delta\nu)}\Rightarrow\frac{\Delta\nu}{\nu_0}=\frac{5}{7}\left(\frac{p_1}{p_0}-1\right).

Для отношения количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала имеем:

\frac{\nu_{\text{к}}}{\nu_0}=1+\frac{\Delta\nu}{\nu_0},

откуда:

\frac{\nu_{\text{к}}}{\nu_0}=\frac{2}{7}+\frac{5p_1}{7p_0}.

Для отношения температур $T_1/T_0$ имеем:

\frac{T_1}{T_0}=\frac{p_1\nu_0}{p_0\nu_{\text{к}}}.

Таким образом:

T_1=\frac{T_0}{\frac{2p_0}{7p_1}+\frac{5}{7}}.

Бележка от източника

После олимпиады решения на os.mipt.ru.

Теми и трудност

Оценена трудност: 5/5.

Топлинни явления · Първи принцип на термодинамиката · Идеални газове

Предпоставки: Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: 11T.pdf · официални решения: 11T-s.pdf