ВсОШ 2024, Регионален етап, 11. клас — Задача 3. Равновесие в полях

• $E=\frac{mg}{\lambda L}\sqrt{1+\left(\frac{L-H}{L-S}\right)^2}$

Пусть $\vec T$ – сила, действующая на нить в точке её крепления, равная по модулю силе натяжения нити в данной точке. Тогда, поскольку система расположена в равновесии:

Введём систему координат $xy$, где ось $x$ направлена вправо, а ось $y$ – вертикально вверх. Тогда из условия равновесия:

Свяжем силы натяжения нити $T_0=mg$ в точке крепления груза и $T$ в точке крепления нити. Приведём два способа получения данной связи.

Первый способ:

Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Мысленно поместим нить в гладкую трубку, повторяющую форму нити. Это не изменит силу натяжения, потому что нить с трубкой не взаимодействует. Сдвинем нить вдоль трубки на величину $dl$ в направлении от точки крепления груза к точке крепления нити. Тогда изменение формы нити эквивалентно перемещению участка нити длиной $dl$ из точки крепления груза в точку крепления нити, поскольку форма остальной части нити не изменится. Поскольку сила натяжения невесомой нити направлена вдоль нити, работа сил, приложенных к концам нити, на указанном виртуальном перемещении равна:

Совершаемая силами натяжения работа равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле:

Поскольку перемещение нити эквивалентно перемещению её участка длиной $dl$ из точки крепления груза в точку крепления нити – изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии соответствующего участка нити:

где $\varphi$ и $\varphi_0$ – потенциалы электростатического поля в точках крепления нити и груза соответственно. Для изменения потенциала $\Delta\varphi$ имеем:

Поскольку $x-x_0=-S$, а $y-y_0=H$, для изменения потенциала $\Delta\varphi$ находим:

Таким образом:

Второй способ:

Рассмотрим бесконечно малый элемент нити длиной $dl$. Условие его равновесия записывается следующим образом:

Проецируя на направление касательной к нити, получим:

Пусть касательная к нити образует угол $\varphi$ с вертикалью. Тогда для $E_{\parallel}$ имеем:

откуда:

Но при этом $dl\cos\varphi=dy$, а $dl\sin\varphi=-dx$, откуда:

Суммируя, получим:

Поскольку $y-y_0=H$, а $x-x_0=-S$, получим:

Но поскольку $T=\lambda LE_x$:

Для напряжённости электростатического поля имеем:

откуда: