ВсОШ 2024, Регионален етап, 11. клас — Задача 4. Полный улёт

• 1. 7 км/с
• 2. $\alpha\approx74^\circ$ или $\alpha\approx106^\circ$
• 3. 35 мТл
• 4. 5 см

Постоянное магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей, и поэтому, если пренебречь излучением, модуль скорости частицы не изменяется. Поэтому величина скорости частицы равна величине скорости при $t=0$.

Отметим, что при конечных ускорениях всегда существует такой "малый" интервал времени после начала движения, на котором скорость удаления частицы от начального положения примерно равна начальной скорости, то есть можно считать, что $r\approx vt$. Поэтому для нахождения скорости частицы проведём касательную к графику функции в начале координат (верхняя прямая на графике). Величина скорости при этом численно равна тангенсу угла наклона этой прямой:

Направим ось $z$ вдоль вектора индукции магнитного поля, выбирая для простоты начало координат так, чтобы $z=0$ при $t=0$. Обозначим $v_{\parallel}$ проекцию вектора скорости частицы на ось $z$, а $v_{\perp}$ — величину перпендикулярной этой оси составляющей. Так как сила Лоренца, действующая на частицу, не имеет составляющей вдоль оси $z$,

В сечении, перпендикулярном оси $z$, движение частицы происходит по окружности с постоянной скоростью $v_{\perp}$. Радиус этой окружности равен

где $B$ — модуль вектора магнитной индукции, а время одного оборота

Таким образом, траектория частицы представляет собой винтовую линию с шагом $h=v_{\parallel}T$ и радиусом $R=v_{\perp}T/(2\pi)$. Выбирая оставшиеся оси координат максимально удобным способом, можно записать, что

откуда, учитывая, что в момент $t=0$ частица находилась в точке с координатами $x=R$, $y=z=0$, получим формулу зависимости модуля её перемещения от времени:

Возьмём теперь выражение для $r(t)$ и поделим его на $t$:

Второе слагаемое в подкоренном выражении при любом $t$ не может быть меньше нуля, следовательно $r(t)/t\geqslant v_{\parallel}$. Это значит, что прямая, идущая в координатах $r$-$t$ из начала, имеющая общие точки с приведённым в условии графиком и обладающая наименьшим угловым коэффициентом, является прямой $r=|v_{\parallel}|t$. Соответственно, для того чтобы определить $v_{\parallel}$, проведём касательную из начала координат к нижней части графика (нижняя прямая на рисунке). Точки касания соответствуют ситуации, когда частица находится на прямой, проходящей через начальную точку и параллельной линиям магнитного поля. Тангенс наклона такой прямой численно равен $|v_{\parallel}|$:

Отсюда находим, что

Точки касания нижней прямой располагаются через равные промежутки времени, равные времени $T$ прохода частицей одного витка винтовой линии. Для увеличения точности возьмем крайнюю (третью) точку касания и определим значение $T$:

Отсюда получим, что

Между положениями $A$ и $B$ прошло время, равное

За это время частица сместилась вдоль линий магнитного поля на расстояние

В проекции на перпендикулярную магнитному полю плоскость частица движется по окружности с радиусом

Её смещение в этой плоскости равно

Отсюда получим значение расстояния $AB$: