ВсОШ 2024, Регионален етап, 11. клас — Задача 5. Троеточие

• 1. О собирающей линзе.
• 2. Справа или слева от точки $B$.
• 3. $d=\frac{l}{3}$
• 4. $\alpha=\arccos\frac{9F}{4l}\quad\text{или}\quad\alpha\approx\sqrt{\frac{4l-9F}{2l}}$

Если линза рассеивающая, то, независимо от положения источника, его изображение будет мнимым, расположенным между источником и оптическим центром линзы. После перемещения источника в точку, где ранее было расположено его изображение, новое изображение окажется снова между источником и оптическим центром линзы. Получится бесконечная цепочка изображений. Таким образом, три точки с указанным свойством в случае рассеивающей линзы существовать не могут.

Линза может быть только собирающей.

Мнимое изображение в собирающей линзе всегда расположено дальше от линзы, чем источник, поэтому не может быть, что точки $A$, $B$ и $C$ являются мнимыми изображениями друг друга. Но, в соответствии с принципом обратимости хода световых лучей, при помещении источника в точку действительного изображения, его новое изображение совпадет с предыдущим положением источника. Поэтому описанным в условии свойством три точки могут обладать только в том случае, если две из них являются действительными изображениями друг друга, а при помещении источника в третью он дает мнимое изображение в одной из точек этой пары. Пусть, например, собирающая линза расположена так, что точка $A$ находится за её фокальной плоскостью. Тогда изображение $A$ будет действительным и будет расположено по другую сторону от плоскости линзы. При перемещении источника в точку этого изображения, новое изображение вернется в точку $A$. Оставшееся, третье положение источника, должно давать мнимое изображение в одной из первых двух точек. Значит, оно должно располагаться между этой точкой (своим изображением) и оптическим центром линзы $O$ ближе фокальной плоскости линзы. В этом случае линза могла быть расположена двумя способами (см. рисунок): а) оптический центр линзы находится между точками $B$ и $C$, причём источник в точке $B$ даёт мнимое изображение в точке $A$; б) оптический центр линзы находится между точками $A$ и $B$, причём источник в точке $B$ даёт мнимое изображение в точке $C$.

Таким образом, оптический центр линзы мог располагаться как справа так и слева от точки $B$.

Если же источник сначала расположить между фокальной плоскостью и плоскостью линзы, то изображение будет получаться мнимым. При перемещении источника в точку изображения новое изображение должно получиться действительным (по другую сторону плоскости линзы). И при перемещении источника в оставшуюся, третью точку, изображение окажется на месте, где источник располагался ранее. Этот вариант идентичен представленному ранее и отдельного рассмотрения не требует.

Рассмотрим только способ а) размещения линзы, так как способ б) аналогичен. Источник, расположенный в точке $B$ на расстоянии меньшем фокусного, даёт мнимое изображение в точке $A$. При помещении источника в точку $A$ возникает действительное изображение в точке $C$, при помещении источника в точку $C$ – действительное изображение в точке $A$. Обозначим расстояние между оптическим центром линзы и источником, угол между главной оптической осью линзы и прямой и фокусное расстояние линзы за $d$, $\alpha$ и $F$ соответственно. Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке $B$:

Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке $A$:

Решая систему, находим $d$ и $\alpha$.

Расстояние между оптическим центром линзы и точкой $B$ равно $d=\frac{l}{3}$.

Решение системы уравнений даёт: $\cos\alpha=\frac{9F}{4l}$, откуда $\alpha=\arccos\frac{9F}{4l}$. Поскольку в условии сказано, что угол $\alpha$ является малым, то допустимо на любом этапе вычислений использовать приближённое равенство $\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2}$. Тогда приходим к формуле $\alpha\approx\sqrt{\frac{4l-9F}{2l}}$. Отметим, что малость угла означает, что с точностью до поправок порядка $\alpha^2$ параметры системы связаны соотношением $l\approx\frac{9}{4}F$.

Угол между главной оптической осью линзы и прямой $MN$ равен $\alpha=\arccos\frac{9F}{4l}$ или $\alpha\approx\sqrt{\frac{4l-9F}{2l}}$.