Съдържание

ВсОШ 2024, Регионален етап, 9. клас — Задача 1. Лифт

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике. 30 января 2024 г. 9 класс. Теоретический тур · 30 януари 2024 г.

Условие

Лифт начинает движение из состояния покоя и останавливается на два этажа выше через время $t_2 = 5{,}0$ с, а на четыре этажа выше — через $t_4 = 8{,}0$ с. Лифт, не останавливаясь между этажами, преодолевает необходимую дистанцию за минимально возможное время, при этом модули его скорости и ускорения не превышают некоторых неизвестных значений $v_0$ и $a_0$ , соответственно. Высота всех этажей одинакова, временем открытия и закрытия дверей можете пренебречь. Используя без доказательства тот факт, что при подъёме на два этажа вверх лифт достигает предельного значения скорости $v_0$ , найдите:

1. за какое время $t_3$ лифт поднимется на три этажа?

2. за какое время $t_1$ лифт поднимется на один этаж?

Отговори

Решение

Лифт преодолевает необходимую дистанцию ( $n$ этажей высотой $l_0$ каждый) за минимально возможное время $t$ , если разгоняется с ускорением $a_0$ до скорости $v_0$ , далее двигается с постоянной скоростью $v_0$ в течение времени $t - \frac{2v_0}{a_0}$ и тормозит до полной остановки за время $\frac{v_0}{a_0}$ .

Начертим соответствующий график скорости лифта от времени. Площадь под ним пропорциональна пройденному пути:

nl_0 = \frac{t + (t - \frac{2v_0}{a_0})}{2} v_0

График зависимости скорости $v$ от времени $t$ в форме трапеции: равноускоренный разгон от 0 до $v_0$ за время $v_0/a_0$, участок постоянной скорости $v_0$ до момента $t - v_0/a_0$ и торможение до нуля к моменту $t$; на осях отмечены $v_0$, $\frac{v_0}{a_0}$, $t - \frac{v_0}{a_0}$, $t$ и 0.

Откуда

t(n) = \frac{nl_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0}

Однако эта формула верна лишь при $t - \frac{2v_0}{a_0} > 0$ , т.е. только в том случае, когда лифт успевает достичь максимальной скорости $v_0$ по скорости. Это условие можно переписать в виде: $n > \frac{v_0^2}{a_0 l_0}$ .

Если лифт не успевает достичь максимальной скорости $v_0$ , то оптимальным по времени становится следующая стратегия зависимости скорости от времени. Необходимо половину времени ускоряться с $a_0$ и половину времени замедляться с тем же по модулю ускорением. График зависимости скорости от времени представлен на рисунке.

График зависимости скорости $v$ от времени $t$ в форме треугольника: линейный рост от 0 до $(a_0t)/2$ к моменту $t/2$ и линейное убывание до нуля к моменту $t$; на осях отмечены $(a_0t)/2$, 0, $t/2$, $t$.

В этом случае пройденный путь равен

nl_0 = \frac{\frac{a_0 t}{2} t}{2}

Откуда

t(n) = 2\sqrt{\frac{nl_0}{a_0}}

По условию, обе точки принадлежат случаю $t(n) = \frac{nl_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0}$ : $\begin{cases} t_2 = \frac{2l_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0} \\ t_4 = \frac{4l_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0} \end{cases}$

Тогда

t_3 = \frac{3l_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0} = \frac{t_2 + t_4}{2} = 6{,}5\ \text{с}

Из системы найдем $n_{\text{крит}} = \frac{v_0^2}{a_0 l_0} = \frac{2(2t_2 - t_4)}{t_4 - t_2} = \frac{4}{3} > 1$ , то есть при подъеме на один этаж лифт не достигает максимально возможной скорости. Так что

t_1 = 2\sqrt{\frac{l_0}{a_0}} = \sqrt{2(t_4 - t_2)(2t_2 - t_4)} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}5\ \text{с}

Оригинал в Архива: 9T.pdf · официални решения: 9T-s.pdf