Съдържание

ВсОШ 2024, Регионален етап, 9. клас — Задача 2. Сообщающиеся сосуды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2024

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике. 30 января 2024 г. 9 класс. Теоретический тур · 30 януари 2024 г.

Условие

Два сообщающихся сосуда с одинаковой площадью сечения $S$ соединены дополнительной тонкой трубочкой на высоте $\frac{H}{4}$ от их дна. В сосуды налили жидкость с плотностью $\rho_1$ . После этого в левый сосуд добавили жидкость с плотностью $\rho_2 < \rho_1$ , высота столба которой оказалась равной $h$ (см. рисунок). Высота столба жидкости в правом сосуде равна $H$ , а суммарная высота столба жидкости в левом сосуде равна $\frac{3H}{2}$ . Жидкости не смешиваются.

Два вертикальных сосуда, соединённых внизу и тонкой трубочкой на высоте $\frac{H}{4}$ от дна. В левом сосуде над жидкостью $\rho_1$ находится столб жидкости $\rho_2$ высотой $h$; суммарная высота столба в левом сосуде $\frac{3H}{2}$, высота жидкости $\rho_1$ в правом сосуде $H$.

1. Чему равна плотность $\rho_2$ , если плотность $\rho_1$ известна?

В левом сосуде на жидкость положили массивный поршень. Поршень скользит без трения, а жидкость между поршнем и стенками сосуда не подтекает.

2. Определите, при какой массе $m$ поршня верхние границы жидкостей в левом и правом сосуде в положении равновесия будут расположены на одном уровне.

Отговори

Решение

Плотность $\rho_2$ находим из условия равенства давлений жидкости у дна в левом и правом сосудах:

\rho_2 gh + \rho_1 g(\frac{3}{2}H - h) = \rho_1 gH

\rho_2 = \rho_1(1 - \frac{H}{2h})

Уровни жидкости в двух половинках сосуда сравняются и станут равны $\frac{5H}{4}$ , т.е. в левом сосуде уровень опустится на $\frac{H}{4}$ , а в правом поднимется на $\frac{H}{4}$ . Следует, также, иметь в виду, что согласно условию $h$ всегда больше $\frac{H}{2}$ $(h > \frac{H}{2})$ .

В зависимости от величины $h$ в задаче возможны 2 случая.

1. $h < H$ , нижняя граница второй жидкости не опустится до уровня трубочки. В этом случае масса поршня находится из условия равенства давлений у дна сосуда:

\frac{mg}{S} + \rho_2 gh + \rho_1 g(\frac{5H}{4} - h) = \rho_1 g\frac{5H}{4}

Откуда

m = (\rho_1 - \rho_2)hS = \rho_1\frac{H}{2}S

$m = \rho_1\frac{H}{2}S$

2. В случае $\frac{5H}{4} > h > H$ нижний уровень жидкости с плотностью $\rho_2$ в процессе опускания поршня дойдет до трубочки, жидкость начнет перетекать в правый сосуд и будет в нем всплывать вверх, так как $\rho_2 < \rho_1$ . Теперь, если считать от дна, жидкость с плотностью $\rho_1$ в левом сосуде доходит до уровня $\frac{H}{4}$ , а столб жидкости с плотностью $\rho_2$ имеет высоту $H$ . Из условия сохранения объемов следует, что столб жидкости с $\rho_1$ в правом сосуде теперь имеет высоту $(\frac{9H}{4} - h)$ , а высота столба жидкости с плотностью $\rho_2$ равна $(h - H)$ .

Отсюда получаем

\frac{mg}{S} + \rho_2 gH + \rho_1 g\frac{H}{4} = \rho_1 g(\frac{9H}{4} - h) + \rho_2 g(h - H)

или

m = \rho_1(2H - h)S + \rho_2(h - 2H)S = \rho_1\frac{H(2H - h)}{2h}S

Оригинал в Архива: 9T.pdf · официални решения: 9T-s.pdf