Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2024/25 — Задача 20. 11 класс. 2. Пуля (Савинцев В.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 29.11.2024 г. · 29 ноември 2024 г.

Условие

Брусок массой $M$ висит на пружине жесткостью $k$ . В начальный момент времени в него попадает летящая вертикально вверх пуля массой $m$ и застревает в нем. Считайте, что удар происходит настолько быстро, что брусок за это время не успевает заметно сместиться. Известно, что брусок после соударения поднялся на $x$ выше положения, при котором пружина ненатянута. Ускорение свободного падения $g$ .

Брусок M, подвешенный на вертикальной пружине жёсткостью k к заштрихованному потолку; снизу к нему вертикально вверх летит пуля m со скоростью v0 (стрелка вверх).

1. Определите, какая скорость $v_0$ была у пули в момент перед ударом.

2. Найдите потери энергии в процессе удара.

3. Найдите величину максимальной деформации пружины в процессе движения $x_{\max}$ .

Отговори

Решение

Возможное решение

Запишем условие равновесия для бруска в момент до удара с пулей.

$kx_0 = Mg$ , следовательно $x_0 = Mg/k$ .

При условии, что удар происходит быстро, можем считать, что вдоль вертикали выполняется закон сохранения импульса (ЗСИ). Запишем ЗСИ с учетом, что после удара пуля и брусок будут двигаться, как одно целое.

$mv_0 = (M + m)V \Rightarrow V = mv_0/(M + m)$ .

Далее в процессе движения будет выполняться закон сохранения механической энергии. Запишем его для перехода от начального положения к ситуации, когда брусок находится в высшей точке траектории.

E = E_0 \Rightarrow \frac{kx^2}{2} = -(M+m)g(x + x_0) + \frac{m^2v_0^2}{2(M+m)} + \frac{kx_0^2}{2}.

Отсюда

v_0 = \sqrt{\frac{2(M+m)}{m^2}\left(\frac{kx^2}{2} + (M+m)g\left(x + \frac{Mg}{k}\right) - \frac{kx_0^2}{2}\right)}

Теперь найдем энергию, выделившуюся при столкновении:

\frac{mv_0^2}{2} = Q + \frac{m^2v_0^2}{2(M+m)} \Rightarrow Q = \frac{mMv_0^2}{2(M+m)}.

Запишем закон сохранения энергии при переходе от случая, когда тело находится в верхней точке траектории к моменту, когда пружина максимально растянута. В обоих случаях скорость бруска равна нулю.

E_1 = E_2 \Rightarrow \frac{kx^2}{2} = -(M+m)g(x + x_{\max}) + \frac{kx_{\max}^2}{2};

x_{\max} = \frac{(M+m)g}{k} \pm \frac{(M+m)g + kx}{k}.

Корень с минусом соответствует положению 1. Корень с плюсом — положению 2. Окончательно:

x_{\max} = \frac{2(M+m)g}{k} + x.

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Записано условие равновесия для бруска в момент до удара с пулей	1
2	Верно найдено начальное растяжение пружины $x_0$	1
3	Правильно записано ЗСИ	1
4	Правильно записано ЗСЭ	1
5	Найдено правильное выражение для $v_0$	1,5
6	Верное найдена энергия, выделившееся при столкновении	1,5
7	Правильно записан закон сохранения энергии при переходе от случая, когда тело находится в верхней точке траектории к моменту, когда пружина максимально растянута	1
8	Решено квадратное уравнение и найден $x_{\max}$	2

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2025_MUN_T.pdf