Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2024/25 — Задача 19. 11 класс. 1. Безработица (Клепиков М.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 29.11.2024 г. · 29 ноември 2024 г.

Условие

Идеальный одноатомный газ участвует в циклическом процессе, состоящем из двух изохор, изотермы и адиабаты. Графики процессов 1-2 и 3-4 пересекаются в точке $B$ . Отношение объёмов на изохорах равно $\alpha$ . Известно, что КПД тепловой машины, работающей по данному циклу $\eta = 0$ %. $p_0$ , $V_0$ — некоторые неизвестные постоянные значения давления и объёма газа.

1. Найдите $\beta$ (см. рисунок).

2. Считая $\beta$ известным (в независимости от того, решили первый пункт или нет), определите координаты точки $B$ .

График в осях p/p0 (вертикальная) и V/V0 (горизонтальная). Изохора при V/V0 = 1 с точками 2 и 3 (3 выше), изохора при V/V0 = α с точками 1 (на уровне p/p0 = 1) и 4 (на уровне β). Кривая 1–2 (изотерма) и более крутая кривая 3–4 (адиабата) пересекаются в точке B. Пунктирами отмечены уровни 1 и β на оси давления и значения 1 и α на оси объёма.

Примечания:

Работа $\nu$ моль идеального газа в изотермическом процессе расширения (или сжатия) от начального объёма $V_{\text{н}}$ до конечного $V_{\text{к}}$ при температуре $T$ равна:

A_T = \nu RT\cdot\ln\frac{V_{\text{к}}}{V_{\text{н}}}.

Уравнение Пуассона для адиабатного процесса с одноатомным газом:

pV^{\frac{5}{3}} = \text{const}.

Отговори

Решение

Возможное решение

Процесс 1-2 — изотермический, так как данная кривая медленнее возрастает при уменьшении объёма газа, а значит запишем закон Бойля-Мариотта:

p_2V_0 = p_0\alpha V_0 \Longrightarrow p_2 = \alpha p_0.

Процесс 3-4 — адиабатический, значит применим уравнение Пуассона:

p_3V_0^{\frac{5}{3}} = \beta p_0(\alpha V_0)^{\frac{5}{3}} \Longrightarrow p_3 = \alpha^{\frac{5}{3}}\beta p_0.

КПД цикла может быть равен нулю, если за цикл не совершается работа, а значит

\sum A_i = 0.

В изохорных процессах газ не совершает работу, поэтому

A_{12} + A_{34} = 0.

Работа газа в изотермическом процессе:

A_{12} = \nu RT_1\cdot\ln\frac{V_0}{\alpha V_0}.

Согласно первому началу термодинамики

0 = \Delta U_{34} + A_{34} \Longrightarrow A_{34} = -\frac{3}{2}\nu R(T_4 - T_3).

Запишем уравнения состояния идеального газа для точек 3 и 4, и вычтем их:

(3){:}\ \alpha^{\frac{5}{3}}\beta p_0V_0 = \nu RT_3,

(4){:}\ \beta p_0\alpha V_0 = \nu RT_4,

\alpha\beta p_0V_0\left(1 - \alpha^{\frac{2}{3}}\right) = \nu R(T_4 - T_3).

Работа газа на адиабатном участке цикла:

A_{34} = -\frac{3}{2}\alpha\beta p_0V_0\left(1 - \alpha^{\frac{2}{3}}\right).

Работу газа в изотермическом процессе запишем, проведя замену $\nu RT_1$ на $p_0\alpha V_0$ , согласно уравнению состояния в точке 1.

Просуммируем работы газа за цикл:

p_0\alpha V_0\cdot\ln\frac{1}{\alpha} - \frac{3}{2}\alpha\beta p_0V_0\left(1 - \alpha^{\frac{2}{3}}\right) = 0,

\ln\frac{1}{\alpha} = \frac{3}{2}\beta\left(1 - \alpha^{\frac{2}{3}}\right),

\beta = \frac{2\ln\frac{1}{\alpha}}{3\left(1 - \alpha^{\frac{2}{3}}\right)}.

Для нахождения точки пересечения кривых составим уравнения зависимости давления от объёма каждой из них. Для этого воспользуемся значениями давлений и объёмов в точках на этих кривых:

pV = \alpha p_0V_0 \Longrightarrow p = \alpha p_0V_0\frac{1}{V},

pV^{\frac{5}{3}} = \beta p_0(\alpha V_0)^{\frac{5}{3}} \Longrightarrow p = \beta p_0(\alpha V_0)^{\frac{5}{3}}\frac{1}{V^{\frac{5}{3}}}.

Приравняем полученные функции и найдем координату пересечения $V_B$ :

\alpha p_0V_0\frac{1}{V_B} = \beta p_0(\alpha V_0)^{\frac{5}{3}}\frac{1}{V_B^{\frac{5}{3}}},

V_B^{\frac{2}{3}} = \beta\alpha^{\frac{2}{3}}V_0^{\frac{2}{3}},

V_B = \beta^{\frac{3}{2}}\alpha V_0,

А значит давление в этой точке:

p_B = p_0\beta^{-\frac{3}{2}}.

Ответ: $\beta = \frac{2\ln\frac{1}{\alpha}}{3\left(1-\alpha^{\frac{2}{3}}\right)}$ , $\left(\beta^{\frac{3}{2}}\alpha V_0; p_0\beta^{-\frac{3}{2}}\right)$ .

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1.1	Обоснование сопоставления графиков кривых и процессов	1
1.2	Для изотермы показано, что $pV = \text{const}$	0,5
1.3	$p_2 = \alpha p_0$	0,5
1.4	Правильно применено уравнение Пуассона	0,5
1.5	$p_3 = \alpha^{\frac{5}{3}}\beta p_0$	0,5
1.6	Аргументированный вывод о $\sum A_i = 0$	1
1.7	Работа газа в изотермическом процессе $A_{12} = \nu RT_1\cdot\ln\frac{V_0}{\alpha V_0}$	0,5
1.8	Работа газа в изотермическом процессе $A_{12} = p_0\alpha V_0\cdot\ln\frac{1}{\alpha}$	0,5
1.9	Использовано первое начало термодинамики для адиабатного процесса	1
1.10	Работа газа в адиабатном процессе $A_{34} = -\frac{3}{2}\alpha\beta p_0V_0\left(1 - \alpha^{\frac{2}{3}}\right)$	0,5
1.11	Найден коэффициент $\beta = \frac{2\ln\frac{1}{\alpha}}{3\left(1-\alpha^{\frac{2}{3}}\right)}$	0,5
2.1	Идея поиска точки пересечение путем приравнивания функций давления. Оценивается при любом указании на этот способ	1
2.2	Изотерма: $p = \alpha p_0V_0\frac{1}{V}$	0,5
2.3	Адиабата: $p = \beta p_0(\alpha V_0)^{\frac{5}{3}}\frac{1}{V^{\frac{5}{3}}}$	0,5
2.4	Получен объём $V_B = \beta^{\frac{3}{2}}\alpha V_0$	0,5
2.5	Получено давление $p_B = p_0\beta^{-\frac{3}{2}}$	0,5

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2025_MUN_T.pdf