ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2024/25 — Задача 22. 11 класс. 4. Многоходовочка (Киреев А.)

• 1) $v = v_0 - \mu gt$
• 2) $\tau = \frac{v_0}{\mu g}$
• 3) $S = \frac{v_0^2}{2\mu g}$
• 4) $v' = \sqrt{\frac{2}{3}}v_0$
• 5) $\omega_0 = \frac{|q|B}{m}$
• 6) $a_0 = \sqrt{(\mu g)^2 + \left(\frac{|q|Bv_0}{m}\right)^2}$
• 7) $\omega = \frac{|q|B}{m}$
• 8) $\varphi_0 = \frac{|q|v_0B}{\mu mg}$
• 9) $\varphi' = \frac{|q|v_0B}{2\mu mg}$
• 10) $A_{\text{М}} = 0$
• 11) $Q = \frac{mv_0^2}{2}$

Возможное решение

В процессе движения на тело действуют: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх; сила трения $F_{\text{тр}} = \mu N$, направленная против скорости движения; горизонтальная сила со стороны магнитного поля $F_{\text{М}} = |q|vB$, направленная перпендикулярно скорости.

Так как сила $F_{\text{М}}$ со стороны магнитного поля направлена всегда перпендикулярно скорости, то работы она не совершает, значит $A_{\text{М}} = 0$. Вся первоначальная кинетическая энергия тела к моменту остановки тела перейдёт в тепло: $Q = \frac{mv_0^2}{2}$.

Введём оси: $O\tau$, направленную всегда вдоль вектора скорости тела; $On$, направленную всегда горизонтально к центру кривизны траектории тела (перпендикулярно скорости тела); $Oz$, направленную вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона для тела в проекции на оси:

где $a_n = \omega v = \frac{v^2}{R}$ – нормальное ускорение, $a_{\tau} = \frac{dv}{dt}$ – тангенциальное ускорение тела.

Из уравнений (1) и (2) получаем $ma_{\tau} = -\mu mg$. Откуда тангенциальное ускорение $a_{\tau} = -\mu g = const$, значит приходим к линейной зависимости от времени модуля скорости: $v = v_0 + a_{\tau}t = v_0 - \mu gt$. Пройденный путь $l$ при движении с постоянным тангенциальным ускорением определяется по формуле: $l = \frac{v^2 - v_0^2}{2a_{\tau}} = \frac{v^2 - v_0^2}{-2\mu g}$. При $t = \tau$ скорость $v = 0$, путь $l = S$, значит $\tau = \frac{v_0}{\mu g}$, $S = \frac{v_0^2}{2\mu g}$. После прохождения пути $l = \frac{S}{3}$ скорость $v = v'$, с учётом этого $\frac{v'^2 - v_0^2}{-2\mu g} = \frac{S}{3} = \frac{\frac{v_0^2}{2\mu g}}{3}$, следовательно $v' = \sqrt{\frac{2}{3}}v_0$.

Из уравнения (3) с учётом формулы $a_n = \omega v$ получаем $m\omega v = |q|vB$, или $\omega = \frac{|q|B}{m} = const = \omega_0$, то есть угловая скорость не зависит от времени. Значит суммарный угол поворота от времени зависит линейно $\varphi = \omega t$. При $t = \tau$ угол $\varphi = \varphi_0$, откуда $\varphi_0 = \frac{|q|B}{m}\tau = \frac{|q|B}{m}\cdot\frac{v_0}{\mu g}$. За первую половину времени движения угол поворота составит $\varphi' = \varphi_0/2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{|q|B}{m}\cdot\frac{v_0}{\mu g}$.

Начальное ускорение $a_0 = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_n^2} = \sqrt{(\mu g)^2 + \left(\frac{|q|Bv_0}{m}\right)^2}$.

Ответы

а) $v = v_0 - \mu gt$;

б) $\tau = \frac{v_0}{\mu g}$;

в) $S = \frac{v_0^2}{2\mu g}$;

г) $v' = \sqrt{\frac{2}{3}}v_0$;

д) $\omega_0 = \frac{|q|B}{m}$;

е) $a_0 = \sqrt{(\mu g)^2 + \left(\frac{|q|Bv_0}{m}\right)^2}$;

ж) $\omega = \frac{|q|B}{m}$;

з) $\varphi_0 = \frac{|q|v_0B}{\mu mg}$;

и) $\varphi' = \frac{|q|v_0B}{2\mu mg}$;

к) $A_{\text{М}} = 0$;

л) $Q = \frac{mv_0^2}{2}$.

Критерии оценивания

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.