Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2024/25 — Задача 23. 11 класс. 5. Случайная перемычка (Кутелев К.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 29.11.2024 г. · 29 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Квадратная рамка сделана из однородного проводника с конечным сопротивлением. Две её противоположные стороны соединили перемычкой с пренебрежимо малым сопротивлением (см. рисунок). Полученные таким образом контуры поместили в однородное переменное магнитное поле. В некоторый момент времени в верхней ветке наблюдалась сила тока $I_1 = 7$ мА. При этом максимальная сила тока в системе в этот момент времени была $I_{\max} = 10$ мА. Определите:

1) Силу тока в перемычке в этот момент времени $I_{\text{п}}$ ;

2) отношение величин ЭДС индукции в верхнем и нижнем контурах.

Квадратная рамка, пересечённая наклонной перемычкой от левой стороны к правой (правый конец выше); над рамкой подпись I1; в верхнем и нижнем контурах значки ⊙ (поле на нас) и подпись B⃗.

Отговори

Решение

Возможное решение.

ЭДС индукции в контурах пропорционально их площади, так как поле однородное.
Сопротивление контуров пропорционально части периметра рамки входящей в соответствующий контур.
Направление тока (по/против часовой стрелки) везде в рамке одинаковое, а значит ток в перемычке равен разности токов верхней и нижней части рамки, и не может быть максимальным током в системе.
Значит $I_2$ = $I_{\max}$ = 10 мА, $I_{\text{п}}$ = 3 мА.
Заметим, что если развернуть перемычку так, как показано на рисунке, площади контуров не изменятся (а значит и ЭДС). Так же останутся теми же части периметра рамки входящие в соответствующий контур (а значит и сопротивление контуров, так как у перемычки сопротивления нет).

Квадратная рамка со стороной a (подписи a сверху и снизу); горизонтальная сплошная перемычка делит её на верхний контур высотой αa и нижний высотой (1-α)a (подписи по бокам); пунктиром показано исходное наклонное положение перемычки; в контурах значки ⊙ и подпись B⃗.

Обозначим за $a$ длину стороны рамки, а за $\alpha$ - часть стороны квадрата, оставшуюся в первом контуре. Тогда

\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{\alpha}{1-\alpha}

\frac{I_1}{I_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}\frac{R_2}{R_1} = \frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{3-2\alpha}{2\alpha+1} = \frac{7}{10}

6\alpha^2 - 23\alpha + 7 = 0

\alpha_1 = 3.5

\alpha_2 = \frac{1}{3}

Так как $\alpha$ < 1, то подходит только 1/3. Отношение ЭДС тогда $\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} = \frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{1}{2}$

№	Критерий	Балл
1	Записан закон электромагнитной индукции	1
2	Записано выражение для сопротивления контура, включающее его длину	1
3	$I_2$ = $I_{\max}$ = 10 мА	1
4	$I_{\text{п}}$ = 3 мА	1
5	Записан закон Ома или правила Кирхгофа	1
6	Получено выражение связывающее соотношение токов с положением перемычки	3
7	Найдено отношение площадей контуров и, соответственно, отношение ЭДС индукции	2
	max	10,0

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2025_MUN_T.pdf