ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2024/25 — Задача 6. 8 класс. 2. Дырявое хранилище (Курносов В.)

• Объём воды можно уменьшить на $\Delta V_{\text{УБ}} = 160\ \text{см}^3$ или увеличить на $\Delta V_{\max} = 5300\ \text{см}^3$.

Возможное решение

1. Вода действует на пластину силой давления $\vec{F}$

$F = \rho_0gS_0(\ell + \ell_{\text{ПЧТ}})$

Где $\ell_{\text{ПЧТ}}$ длина погруженной части поплавка, а $\ell$ длина нити, $S_0$ площадь отверстия в дне сосуда.

2. Если уровень воды в сосуде понизить, то сила Архимеда уменьшится, натяжение нити уменьшится, и вода начнет вытекать. В критическом состоянии можем записать условие равновесия пластины:

$F = F_A - mg$ или

$\rho_0gS_0(\ell + \ell_{\text{ПЧТ}}) = \rho_0gS_{\text{П}}\ell_{\text{ПЧТ}} - \rho_{\text{П}}gS_{\text{П}}\ell_{\text{П}}$ откуда

$\ell_{\text{ПЧТ}} = \frac{\rho_0S_0\ell + \rho_{\text{П}}S_{\text{П}}\ell_{\text{П}}}{\rho_0(S_{\text{П}} - S_0)}$

Подставляя числовые значения, получим $\ell_{\text{ПЧТ}} = 3\ см$

3. Допустимая убыль объема воды:

$\Delta V_{\text{УБ}} = (S_{\text{Д}} - S_{\text{П}})(\frac{\ell_{\text{П}}}{2} - \ell_{\text{ПЧТ}})$

4. Подставляя числовые значения, получим

$\Delta V_{\text{УБ}} = 160\ \text{см}^3$.

5. Однако, если воду доливать в сосуд, то сила Архимеда перестанет расти после полного погружения поплавка, а сила давления продолжит расти. При некотором значении $h$ воды в сосуде, она начнет вытекать.

Новое условие равновесия можем записать:

$F_2 = F_A - mg$

$\rho_0gS_0h = (\rho_0 - \rho_{\text{П}})gS_{\text{П}}\ell_{\text{П}}$

Откуда найдем h.

$h = \frac{(\rho_0 - \rho_{\text{П}})S_{\text{П}}\ell_{\text{П}}}{\rho_0S_0}$

Подставляя числовые значения, получим $h = 64\ \text{см}$

6. Найдем допустимый объем для доливания воды:

7. Подставляя числовые значения, получим $\Delta V_{\max} = 5300\ \text{см}^3$.

В итоге: объем воды можно или уменьшить на $\Delta V_{\text{УБ}} = 160\ \text{см}^3$.

Или увеличить на:

$\Delta V_{\max} = 5300\ \text{см}^3$

Критерии оценивания

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.