Съдържание

ВсОШ 2024, Муниципален етап, 7–11 клас, учебна 2024/25 — Задача 9. 9 класс. 1. Петля времени (Клепиков М.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 29.11.2024 г. · 29 ноември 2024 г. · 10 т.

Условие

Из пункта $A$ в пункт $B$ , расстояние между которыми $s$ , выехали два автомобиля: первый начал движение из состояния покоя с постоянным ускорением, второй, имея начальную скорость $v$ , тормозил с постоянным ускорением так, что к концу пути в пункте $B$ полностью остановился. На встречу им из пункта $B$ одновременно выехал третий автомобиль, имея неизвестную постоянную скорость $u$ . Он закончил свое движение в пункте $A$ одновременно с тем, как первые два автомобиля прибыли в пункт $B$ .

1. Какую скорость $v_1$ имел первый автомобиль в конце своего пути?

2. С какой скоростью $u$ двигался третий автомобиль?

3. Сколько прошло времени между встречами третьим автомобилем первого и второго?

Отговори

Решение

Возможное решение

Первый и второй автомобиль закончили свое движение одновременно, преодолев одинаковое расстояние. Первый:

s = \frac{a_1t^2}{2},

второй:

s = vt - \frac{a_2t^2}{2},

кроме этого

t = \frac{v}{a_2} \Rightarrow v = a_2t,

значит

s = a_2t^2 - \frac{a_2t^2}{2} = \frac{a_2t^2}{2},

откуда следует, что

a_1 = a_2 \equiv a.

Можем сделать вывод, что, двигаясь с одинаковыми по модулю ускорениями, первый и второй автомобиль за все время движения изменили свою скорость на одинаковую по модулю величину $v$ , значит

v_1 = v.

Третий автомобиль преодолел это же расстояние с постоянной скоростью $u$ за то же время, что и другие два:

u = \frac{s}{t} = \frac{at^2}{2t} = \frac{v}{2}.

Для наглядности представим графики зависимости координаты от времени для всех участников движения

Графики координаты x от времени t: ось x с отметкой s, ось t с отметками t₂, t₁, t₀. Кривая 1 (парабола, выпуклая вниз) из 0 в точку (t₀, s); кривая 2 (выпуклая вверх) из 0 в (t₀, s); прямая 3 из (0, s) в (t₀, 0). Пунктиры опущены из точек пересечения прямой 3 с кривой 2 (при t₂) и с кривой 1 (при t₁).

Найдем момент времени, когда третий автомобиль встретил первый:

s - ut_1 = \frac{at_1^2}{2}.

Ускорение выразим через изменение квадрата скорости («формула без времени»):

v^2 - 0^2 = 2as, \Rightarrow a = \frac{v^2}{2s}.

Подставим это в предыдущее уравнение:

s - \frac{v}{2}t_1 = \frac{v^2t_1^2}{4s}.

Решим это уравнение относительно $t_1$ и найдем момент времени встречи первого и третьего автомобилей:

t_1 = \frac{-\frac{v}{2} \pm \sqrt{\frac{v^2}{4} + 2as}}{a}.

Подставим выражение для ускорения и в итоге получим ответ:

t_1 = \frac{s}{v}\left(\sqrt{5} - 1\right).

Использован положительный корень уравнения.

Аналогично приравняем уравнения движения второго и третьего автомобиля.

s - \frac{v}{2}t_2 = vt_2 - \frac{at_2^2}{2}.

Решим квадратное уравнение и подставим выражение для ускорения. Получим

t_2 = \frac{s}{v}\left(3 \pm \sqrt{5}\right).

Для сравнения найдем общее время движения третьего автомобиля:

t_0 = \frac{2s}{v}.

Заметим, что время $t_2$ гарантированно меньше общего времени движения, поэтому возьмем только один корень:

t_2 = \frac{s}{v}\left(3 - \sqrt{5}\right).

Искомое время между встречами:

t = t_1 - t_2 = \frac{s}{v}\left(\sqrt{5} - 1\right) - \frac{s}{v}\left(3 - \sqrt{5}\right)

Или

t = \frac{2s}{v}\left(\sqrt{5} - 2\right).

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Обоснованное утверждение равенства ускорений первых двух автомобилей.	1
2	$v_1 = v$ , получено из равенства ускорений и времени движения.	1
3	Найдена скорость третьего автомобиля $u = \frac{v}{2}$ .	1
4	Уравнение зависимости координаты первого (или второго) тела от времени.	1
5	Уравнение зависимости координаты третьего тела от времени.	1
6	Найден один из моментов встречи $\frac{s}{v}\left(\sqrt{5} - 1\right)$ или $\frac{s}{v}\left(3 - \sqrt{5}\right)$	2
7	Найдено общее время движения $t_0 = \frac{2s}{v}$	1
8	Найдет второй момент встречи. Допускается находить его, ссылаясь на симметрию ситуации.	1
9	Итоговое выражение для промежутка времени $t = \frac{2s}{v}\left(\sqrt{5} - 2\right)$	1
Итого:		10

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2025_MUN_T.pdf