Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 11. 11-Т1 · Два камня

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Саранск, 2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный сборник: 83 страницы, 15 целых задач 9–11 классов и все напечатанные возможные решения и варианты. Архивное воспроизведение; исходные опечатки и несогласованности отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений используйте масштаб оригинального PDF.

Титул и авторы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Саранск, 2025 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-T1. Антон Вергунов
9-T2. Александр Ившин, Егор Васенин, Антон Вергунов
9-T3. Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4. Михаил Замятнин, Антон Вергунов
9-T5. Денис Рубцов
10-T1. Анна Шишкина
10-T2. Иван Юдин
10-T3. Александр Аполонский
10-T4. Алексей Заяц
10-T5. Александр Киреев, Леонид Колдунов
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Константин Соломатин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Александр Аполонский
11-T5. Константин Соломатин

В источнике заголовок ключа — «Возможные решения». Пять исходных задач каждого из 9, 10 и 11 классов сохранены целыми; номер внутреннего маршрута p1–p15 дополнен исходным обозначением класса/задачи. Ненумерованный запрос 11-Т1 не разбит на искусственные подпункты.

Условие

С вершины башни высоты $h$ с одинаковыми скоростями $v$ , направленными перпендикулярно одна к другой, под разными углами к горизонту одновременно брошены два камня так, что их движение происходит в одной вертикальной плоскости. Через некоторое время после броска, как раз непосредственно перед падением одного камня на землю, оказалось, что векторы скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту.

Определите величину этого угла $\varphi$ и расстояние между камнями $l$ в этот момент времени.

Известно, что в начальный момент времени оба камня удаляются от поверхности земли, а непосредственно перед падением одного камня на землю другой камень тоже приближается к поверхности земли. Башня расположена на горизонтальной поверхности. Ускорение свободного падения равно $g$ . Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение

Графический метод решения

Построим векторные треугольники скоростей для каждого из камней с общим началом в точке $O$ . Вершины треугольников для удобства подпишем буквами. На рисунке $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OM}$ — векторы начальных скоростей, $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{ON}$ — векторы скоростей перед падением на землю одного из камней.

Complete original two-stone velocity triangles, A/B/M/N/O,v/gt/alpha and perpendicular marker.

По теореме синусов из $\triangle AOB$ и $\triangle MON$ находим

\frac v{\sin\alpha}=\frac{gt}{\sin\angle AOB}=\frac{gt}{\sin\angle MON}.

Поскольку камни брошены по условию под разными углами, то из равенства $\sin\angle AOB=\sin\angle MON$ следует $\angle AOB+\angle MON=180^\circ$ . Тогда $\angle BON=90^\circ$ , а камни движутся под одинаковыми углами к вертикали $\alpha=\angle BON/2=45^\circ$ .

Искомый угол с горизонтом составляет $\varphi=90^\circ-\alpha=45^\circ$ . Из закона сохранения энергии: $|\overrightarrow{ON}|=v_1=\sqrt{v^2+2gh}$ .

Для нахождения расстояния между камнями в этот момент определим время движения. По теореме косинусов для $\triangle MON$

v^2+2gh+(gt)^2-2\sqrt{v^2+2gh}\,gt\cos45^\circ=v^2.

Решая полученное квадратное уравнение, находим два корня

t=\frac{\sqrt{v^2+2gh}\pm\sqrt{v^2-2gh}}{\sqrt2g}.

Учитывая условие, что первоначально оба камня удаляются от земли, необходимо выбрать знак $+$ . Умножая полученное время на относительную скорость камней $v=\sqrt2v$ , получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени

l=vt=\frac vg\left(\sqrt{v^2+2gh}+\sqrt{v^2-2gh}\right).

Аналитический метод решения

Пусть первым упадет камень брошенный под углом $\gamma$ . В момент перед падением этого камня на землю

y=h+v\sin\gamma\,t_1-\frac{gt_1^2}{2}=0,

откуда получаем время движения

t_1=\frac{v\sin\gamma}{g}\left(1+\sqrt{1+\frac{2gh}{v^2\sin^2\gamma}}\right).

Из уравнений движения камней определим проекции скоростей

v_{1x}=v\cos\gamma;\quad v_{1y}=v\sin\gamma-gt,

v_{2x}=v\cos\beta;\quad v_{2y}=v\sin\beta-gt.

В момент, когда векторы скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту

\operatorname{tg}\varphi=\frac{v_{1y}}{v_{1x}}=\frac{v_{2y}}{v_{2x}}.

Из получившегося соотношения следуют два уравнения

\operatorname{tg}\varphi=\frac{v\sin\gamma-gt_1}{v\cos\gamma},\qquad\frac{v\sin\gamma-gt_1}{v\cos\gamma}=\frac{v\sin\beta-gt_1}{v\cos\beta}.

Преобразуем уравнения, используя выражение для $t_1$

\operatorname{tg}\varphi=-\frac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}}{v\cos\gamma},

-\frac{\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}}{v\cos\gamma}=\frac{v\sin\beta-v\sin\gamma-\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}}{v\cos\beta}.

Выразив $\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}$ из второго уравнения и подставив в первое получим

\operatorname{tg}\varphi=-1.

Искомый угол с горизонтом составляет $\varphi=45^\circ$ .

Используя $\tan\varphi=-1$ , из $\tan\varphi=-\sqrt{v^2\sin^2\gamma+2gh}/(v\cos\gamma)$ найдём

\sin\gamma=\sqrt{\frac12-\frac{gh}{v^2}},\qquad\cos\gamma=\sqrt{\frac12+\frac{gh}{v^2}}.

Тогда время $t_1$

t_1=\frac vg\left(\sqrt{\frac12+\frac{gh}{v^2}}+\sqrt{\frac12-\frac{gh}{v^2}}\right).

Умножая полученное время на относительную скорость камней $v=\sqrt2v$ , получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени

l=vt=\frac vg\left(\sqrt{v^2+2gh}+\sqrt{v^2-2gh}\right).

Примечание к источнику: в обеих ветвях источник обозначает относительную скорость тем же $v$ и пишет $v=\sqrt2v$ ; исходная строка и итоговые выражения сохранены. Аналитический метод печатает $\operatorname{tg}\varphi=-1$ и затем величину угла $45^\circ$ .

Оригинал в Архива: Ru25-T.pdf · решение от архива: Ru25-T.pdf