ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 10. 10-Т5 · Вай кодамо!

Используя симметрию электрической цепи, докажем, что потенциалы на соседних выводах источников каждого типа одинаковы. Для этого введём обозначения узлов $A_1$, $A_2$, $B_2$, $A_3$, $B_3$ и т.д., как показано на рис. 1.

Воспользуемся методом наложения. Рассмотрим сначала систему из источников только с ЭДС $\mathcal E$ и при «выключенных» ЭДС всех остальных источников (см. рис. 2).

Сдвиг на одно звено схемы вдоль направления $A_3-A_1$ переводит схему «саму в себя», поэтому $\varphi_{A_3}-\varphi_{B_3}=\varphi_{A_2}-\varphi_{B_2}=\varphi_{A_1}-\varphi_{B_1}=\Delta\varphi$, а также $\varphi_{A_4}-\varphi_{B_3}=\varphi_{A_3}-\varphi_{B_2}=\varphi_{A_2}-\varphi_{B_1}=\Delta\varphi'$, где $\varphi_M$ — потенциал соответствующего узла $M$.

Перевернём цепь таким образом, что узлы $A_3$ и $B_2$, а также узлы $A_2$ и $B_3$ меняются местами (см. рис. 3). Так как цепь перешла «сама в себя», то

Отсюда следует, что $\Delta\varphi=-\Delta\varphi$ и $\Delta\varphi'=-\Delta\varphi'$ или $\Delta\varphi=0$ и $\Delta\varphi'=0$. С учётом этого получаем, что потенциалы, созданные системой источников с ЭДС $\mathcal E$, во всех узлах такой схемы одинаковы.

Аналогично можно рассмотреть отдельно систему из источников только с ЭДС $2\mathcal E$ и систему из источников только с ЭДС $3\mathcal E$ при «выключенных» ЭДС всех остальных источников. Таким образом, разность потенциалов между любыми двумя узлами схемы в каждой рассмотренной системе равна нулю, а согласно методу наложения и результирующая разность потенциалов между любыми двумя узлами схемы также равна нулю. Значит, разности потенциалов между плюсом и минусом каждого типа источников равны:

Запишем закон Ома для произвольной пары соседних узлов, участок цепи между которыми содержит ЭДС $\mathcal E$:

Здесь положительному значению $I_1$ соответствует ток, текущий в направлении действия $\mathcal E$. Поскольку $\varphi_+-\varphi_-=0$, сила тока $I_1=\mathcal E/\nabla$ для любого такого участка. Аналогично для участков цепи, содержащих ЭДС $2\mathcal E$ и $3\mathcal E$:

Следовательно,

Рассмотрим бесконечную электрическую цепь с двумя соседними (ближайшими) выводами на источнике любого типа как эквивалентный источник с ЭДС $\mathcal E_{\text{экв}}$ и внутренним сопротивлением $r_{\text{экв}}$ (рис. 4). ЭДС эквивалентного источника $\mathcal E_{\text{экв}}=0$, так как разность потенциалов между любыми двумя соседними выводами равна нулю.

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника $r_{\text{экв}}$ определим как сопротивление между двумя соседними (ближайшими) узлами бесконечной сетки с «выключенными» ЭДС. Для этого снова воспользуемся методом наложения. Рассмотрим сначала бесконечную сетку с внутренними сопротивлениями источников, где в один из узлов втекает ток силой $I_0$ и растекается до бесконечности. В ближайших к данному узлу ветках силы токов будут одинаковы (в силу симметрии) и равны $I_+=I_0/6$. Затем рассмотрим ту же бесконечную сетку, где из соседнего узла вытекает ток силой $I_0$. Аналогично, в данной схеме токи в ближайших к данному узлу ветках будут одинаковы и равны $I_-=I_0/6$.

Далее рассмотрим суперпозицию этих двух случаев. Тогда напряжение на сопротивлении $r$ равно $(I_++I_-)r$, следовательно

Таким образом, при использовании любых двух соседних (ближайших) узлов электрическая схема ведёт себя как резистор с сопротивлением $r_{\text{экв}}=r/3$. Поэтому показания омметра не будут зависеть от полярности подключения. С учётом этого получаем ответ для показаний омметра:

Эти результаты не зависят от полярности подключения омметра.

Эквивалентный источник из предыдущего пункта можно представить как параллельное соединение источника с ЭДС $2\mathcal E$ и сопротивлением $r$ (который заменяется другим источником по условию) и источника с ЭДС $\mathcal E^*$ и сопротивлением $r^*$, который эквивалентен оставшейся части электрической схемы (см. рис. 5).

С учётом того, что ЭДС эквивалентного источника $\mathcal E_{\text{экв}}=0$ и его сопротивление $r_{\text{экв}}=r/3$, найдём $\mathcal E^*$ и $r^*$.

Сопротивления связаны соотношением

откуда $r^*=r/2$. Приравнивая токи короткого замыкания рассмотренного параллельного соединения источников и эквивалентного источника, приходим к соотношению:

откуда находим $\mathcal E^*=\mathcal E$.

Источник с ЭДС $2\mathcal E$ и сопротивлением $r$ можно заменить источником с ЭДС $\mathcal E$ и сопротивлением $r/2$ двумя разными способами (используя разную полярность подключения, как представлено на рис. 6).

При подключении первым способом согласно закону Ома для полной цепи

При подключении вторым способом согласно закону Ома для полной цепи

В итоге, в зависимости от способа подключения получаем:

Примечание к источнику: в тексте страницы53 напечатано $I_1=\mathcal E/\nabla$; ниже в исходном нумерованном равенстве (1) стоит $I_1=\mathcal E/r$. Обе строки сохранены.