ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 9. 10-Т4 · Квадрат vs круг

Пусть поверхностная плотность заряда всех фигур, упоминаемых ниже, постоянна, одинакова и равна $\sigma$ ($\sigma>0$).

Рассмотрим бесконечно малую заряженную площадку с площадью $\Delta S_1$ и зарядом $\sigma\Delta S_1$, расположенную на расстоянии $r$ от точки $O$, и геометрически ей подобную вторую площадку, заряженную с той же поверхностной плотностью $\sigma$, но расположенную на расстоянии $\lambda r$, где $\lambda$ — коэффициент подобия. Поскольку

напряжённости электрических полей, созданных этими площадками, равны:

Рассмотрим теперь две заряженные пластины конечного размера, геометрически подобные друг другу с коэффициентом подобия $\lambda$ и расположенные так, как показано на рис. 1, где $O$ — центр подобия этих пластин ($\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OC}$ и т.п.). Разобьём обе пластины на бесконечно малые площадки, причём так, чтобы каждый элемент разбиения второй пластины был подобен соответствующему элементу первой пластины с центром подобия в точке $O$. Поскольку, как было показано выше, напряжённости электрических полей, созданных в точке $O$ бесконечно малыми площадками, образующими такую пару, совпадают, то и напряжённости электрических полей, созданных в точке $O$ всей первой и всей второй пластиной, тоже будут совпадать (по модулю и по направлению).

В частности, это значит, что напряжённость поля в точке $O'$, созданного фигурой, изображённой на рис. 2 из условия задачи, будет также равна $E_0$.

Из симметрии фигуры следует, что вектор $\vec E_A$ направлен вверх и вправо вдоль этой оси симметрии. Используя результат пункта 1, получим, что напряжённость электрического поля, созданного в точке $A$ каждой из трёх фигур на рис. 2 (зелёной, синей или серой), равна $E_0$. Отсюда следует, что заряженная фигура, изображённая в условии на рис. 3, создаёт в точке $A$ поле с напряжённостью $3E_0$.

Вектор $\vec E_A$ направлен вверх и вправо вдоль оси симметрии фигуры; $E_A=3E_0$.

Из симметрии фигуры следует, что вектор $\vec E_B$ направлен вверх и вправо вдоль этой оси симметрии. Для ответа на третий вопрос задачи рассмотрим заряженную пластину, изображённую на рис. 3 (всю окрашенную как-либо область). Обозначим $E_{\text{зел}}$ и $E_{\text{син}}$ напряжённости полей, созданных в точке $B$ зелёной и синей областью соответственно. Из подобия этих областей следует, что $E_{\text{зел}}=E_{\text{син}}$.

Напряжённость электрического поля $E$, созданного всей пластиной в точке $B$, с одной стороны, равна $E=E_0+E_{\text{син}}$, а с другой стороны, $E=E_B+E_{\text{зел}}$, где $E_B$ — искомая напряжённость поля, созданного фигурой, изображённой в условии на рис. 4. Приравнивая правые части этих соотношений, получим, что

Вектор $\vec E_B$ направлен вверх и вправо вдоль оси симметрии фигуры; $E_B=E_0$.

Воспользуемся подходом из предыдущего пункта и рассмотрим заряженную пластину, изображённую на рис. 4 (снова всю окрашенную как-либо область). Зелёная и синяя области, благодаря подобию, создают в точке $C$ поле с одинаковой по величине и направлению напряжённостью. Следовательно, напряжённость поля, созданного в точке $C$ указанной в условии трапецией, совпадает с напряжённостью поля, созданного в той же точке кольцевым сектором с углом в $30^\circ$.

Отсюда, используя симметрию кольцевого сектора, делаем вывод, что вектор $\vec E_C$ напряжённости электрического поля, созданного трапецией в точке $C$, направлен по внешней биссектрисе угла $\angle C$ (см. рис. 5).

Кольцевой сектор с внутренним и внешним радиусами, отличающимися в два раза, представляет собой (с точностью до подобия) одну треть от фигуры, изображённой в условии на рис. 4. Используя результат предыдущего пункта, получим (см. рис. 6)

Вектор $\vec E_C$ направлен вдоль внешней биссектрисы угла $\angle C$;

Примечание к источнику: в примере в начале решения напечатано $\overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OC}$; эта исходная строка сохранена вместе с оригинальным рисунком.