Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 8. 10-Т3 · Падающий поршень

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Саранск, 2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный сборник: 83 страницы, 15 целых задач 9–11 классов и все напечатанные возможные решения и варианты. Архивное воспроизведение; исходные опечатки и несогласованности отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений используйте масштаб оригинального PDF.

Титул и авторы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Саранск, 2025 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-T1. Антон Вергунов
9-T2. Александр Ившин, Егор Васенин, Антон Вергунов
9-T3. Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4. Михаил Замятнин, Антон Вергунов
9-T5. Денис Рубцов
10-T1. Анна Шишкина
10-T2. Иван Юдин
10-T3. Александр Аполонский
10-T4. Алексей Заяц
10-T5. Александр Киреев, Леонид Колдунов
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Константин Соломатин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Александр Аполонский
11-T5. Константин Соломатин

В источнике заголовок ключа — «Возможные решения». Пять исходных задач каждого из 9, 10 и 11 классов сохранены целыми; номер внутреннего маршрута p1–p15 дополнен исходным обозначением класса/задачи. Ненумерованный запрос 11-Т1 не разбит на искусственные подпункты.

Условие

В цилиндрическом сосуде, установленном вертикально в поле силы тяжести, под массивным горизонтальным поршнем массой $m=100\ \text{кг}$ содержится одноатомный идеальный газ. Над поршнем — вакуум. Поршень находится в равновесии и может перемещаться вдоль стенок сосуда практически без трения. Поршень закрепляют в этом равновесном положении, после чего кладут на него гирю массой $M$ . Затем поршень освобождают. При дальнейшем движении поршня с гирей его минимальное расстояние $h_{\min}$ до дна сосуда в два раза меньше исходного расстояния $h_0=1{,}0\ \text{м}$ . Определите:

Теплоёмкость сосуда и поршня пренебрежимо мала, теплоотдача в окружающую среду отсутствует. При движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Масса газа много меньше массы поршня. Ускорение свободного падения считайте равным $g=10\ \text{м}/\text{с}^2$ .

1 массу гири $M$ ;

2 модуль максимального ускорения $a_{\max}$ поршня с гирей в процессе движения;

3 модуль максимальной скорости $v_{\max}$ поршня с гирей в процессе движения.

4 Через длительное время поршень остановился. Найдите расстояние $h$ до дна сосуда, на котором будет находиться поршень в состоянии нового термодинамического равновесия.

Решение

Так как поршень вначале находится в равновесии, то $P_0S=mg$ или $P_0V_0=mgh_0$ , где $P_0$ и $V_0$ — начальное давление и начальный объём газа соответственно, $S$ — площадь внутреннего поперечного сечения сосуда.

При движении системы механическая энергия поршня с грузом передается только газу (поршень перемещается в сосуде практически без трения, снаружи вакуум), а газ не передает теплоту в окружающую среду (по условию). В этом случае первое начало термодинамики имеет вид:

A_{\text{внеш}}=\Delta U,

где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа, $A_{\text{внеш}}$ — работа внешних сил над газом, равная убыли полной механической энергии поршня с грузом: $A_{\text{внеш}}=-\Delta E$ . В результате получаем:

\Delta U+\Delta E=0.

Согласно условию, при движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Поэтому будем считать, что с газом происходит обратимый адиабатический процесс.

Для него справедливо уравнение Пуассона $PV^\gamma=\mathrm{const}$ , где $\gamma=5/3$ для одноатомного идеального газа, $P$ и $V$ — давление и объём газа в некоторый произвольный момент времени. В нашем случае $PV^{5/3}=P_0V_0^{5/3}$ или

P=P_0(V_0/V)^{5/3}=P_0(h_0/h)^{5/3},

PV=P_0V_0(V_0/V)^{2/3}=P_0V_0(h_0/h)^{2/3},

где $h$ — расстояние от поршня до дна сосуда в произвольный момент времени.

Рассмотрим момент времени, когда поршень находился в самой нижней точке на расстоянии $h_{\min}$ от дна сосуда. В этот момент скорость поршня с грузом равна нулю, т.е. $\Delta E=(M+m)g(h_{\min}-h_0)$ . Изменение внутренней энергии газа:

\Delta U=\tfrac32(P_1V_1-P_0V_0)=\tfrac32P_0V_0\left((h_0/h_{\min})^{2/3}-1\right)=\tfrac32mgh_0\left((h_0/h_{\min})^{2/3}-1\right),

где $P_1$ и $V_1$ — давление и объём газа соответственно в рассматриваемый момент времени.

После объединения получаем:

\tfrac32mgh_0\left((h_0/h_{\min})^{2/3}-1\right)+(M+m)gh_0(h_{\min}/h_0-1)=0.

Подставляем $h_0/h_{\min}=2$ и находим:

M/m=3(2^{2/3}-1)-1\approx0{,}762,\qquad M\approx0{,}762m\approx76\ \text{кг}.

Будем рассматривать поршень с грузом как единое тело. Максимальный модуль ускорения поршня с грузом достигается, когда их скорость равна нулю, при этом суммарная внешняя сила максимальна. Этим условиям удовлетворяют два положения поршня: начальное положение (сила тяжести больше силы давления газа на поршень) и нижнее положение (сила давления газа на поршень больше силы тяжести).

В начальный момент модуль ускорения поршня с грузом равен:

a_0=\frac{(M+m)g-P_0S}{M+m}=\frac{(M+m)g-mg}{M+m}=\frac M{M+m}g\approx0{,}43g.

В нижнем положении модуль ускорения поршня с грузом равен:

a=\frac{P_0S(h_0/h_{\min})^{5/3}-(M+m)g}{M+m}=g\left(\frac{m(h_0/h_{\min})^{5/3}}{M+m}-1\right)=g\left(\frac{2^{5/3}m}{M+m}-1\right)\approx0{,}80g.

Выбираем максимальное значение:

a_{\max}=g\left(\frac{m(h_0/h_{\min})^{5/3}}{M+m}-1\right)\approx0{,}80g=8\ \text{м}/\text{с}^2.

Максимальной скорости поршень достигает на первом участке движения (от верхней точки до нижней). При максимальной скорости движения ускорение равно нулю, т.е. сила тяжести $(M+m)g$ равна силе давления газа $P_2S$ :

(M+m)g=P_2S=P_0S(h_0/h_2)^{5/3}=mg(h_0/h_2)^{5/3},

где $h_2$ — расстояния от поршня до дна сосуда в указанный момент времени. Из полученного уравнения найдём $h_2/h_0=(M/m+1)^{-3/5}\approx0{,}712$ .

Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) для газа записывается так:

\tfrac32(P_2V_2-P_0V_0)+(M+m)g(h_2-h_0)+\left(\frac{(M+m)v_{\max}^2}{2}-0\right)=0

или

\tfrac32mgh_0\left((h_0/h_2)^{2/3}-1\right)+(M+m)gh_0(h_2/h_0-1)+\frac{(M+m)v_{\max}^2}{2}=0,

где $P_2$ и $V_2$ — давление и объём газа соответственно в момент прохождения поршнем положения равновесия. Откуда:

\frac{v_{\max}^2}{2gh_0}=\left(1-\frac{h_2}{h_0}\right)+\frac{3m}{2(M+m)}\left(1-(h_0/h_2)^{2/3}\right).

Подставляем значение $h_2/h_0$ :

\frac{v_{\max}^2}{2gh_0}\approx0{,}07,

откуда получаем:

v_{\max}\approx\sqrt{0{,}14gh_0}\approx1{,}2\ \text{м}/\text{с}.

На длительном промежутке времени процессы, протекающие в газе, становятся необратимыми, т.е. механическая энергия необратимо переходит во внутреннюю энергию. Уравнение адиабаты $PV^\gamma=\mathrm{const}$ , выведенное для обратимого процесса, в этом случае не применимо.

Запишем условие равновесия поршня с грузом: $PS=(M+m)g$ . Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) в этом случае имеет вид:

\tfrac32(PSh-P_0V_0)+(M+m)g(h-h_0)=0.

Получаем:

\tfrac32((M+m)gh-mgh_0)+(M+m)g(h-h_0)=0.

Находим новую высоту:

h=\frac{5m+2M}{5(M+m)}h_0\approx0{,}74h_0=0{,}74\ \text{м}.

Оригинал в Архива: Ru25-T.pdf · решение от архива: Ru25-T.pdf