ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 7. 10-Т2 · Призма

Первый способ решения

Изобразим силы, действующие на призму (рис. 1). Обозначим $N$ силу взаимодействия между бруском и призмой, $N'$ — силу нормальной реакции, а $F_{\text{тр}}$ — силу трения, действующие на призму со стороны стола. Тогда

Ускорение бруска относительно стола, для удобства, разложим на две составляющие: ускорение призмы $a$ и ускорение бруска относительно поверхности призмы $a'$, которое направлено параллельно её левой боковой поверхности (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось, перпендикулярную направлению его относительного движения

Полученная формула для $N$ не содержит явно величину силы $F$, а ускорение призмы, согласно условию, не зависит от $F$. Отсюда следует, что и $N$ не зависит от величины этой силы.

Рассмотрим два случая: 1) призма движется относительно стола; 2) трение не позволяет призме двигаться.

1. Пусть призма скользит по поверхности стола, то есть $a>0$. Тогда

и

Чтобы ускорение $a$ не зависело от силы $F$, все слагаемые, включающие её, должны сократиться. Это возможно, если

2. Пусть теперь призма не скользит, то есть $a=0$. Тогда $N=Mg\cos\alpha$ и

Перегруппируем выражения в полученном неравенстве:

Так как оно должно выполняться при любых значениях $F$ (в том числе, при $F=0$), выражение в правой части должно быть неотрицательным, а выражение в левой части — наоборот, неположительным. Отсюда следует, что

и

Поскольку последнее неравенство — более сильное, получим, что призма будет покоиться при любом значении $F$, если $\mu\geq8/19$.

Используя полученное выше значение $\mu=1/3$, найдём величину ускорения $a$ в случае, когда призма скользит по столу:

Второй способ решения

Изобразим силы, действующие на призму (рис. 1). Обозначим $N$ силу взаимодействия между бруском и призмой, $N'$ — силу нормальной реакции, а $F_{\text{тр}}$ — силу трения, действующие на призму со стороны стола. Тогда, из второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:

Ускорение бруска относительно стола, для удобства, разложим на две составляющие: ускорение призмы $a$ и ускорение бруска относительно поверхности призмы $a'$, которое направлено параллельно её левой боковой поверхности (рис. 2). Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось, перпендикулярную направлению его относительного движения

Полученная формула для $N$ не содержит явно величину силы $F$, а ускорение призмы, согласно условию, не зависит от $F$. Отсюда следует, что и $N$ не зависит от величины этой силы.

Рассмотрим случай, когда призма скользит. Результирующая сила $\vec F_\Sigma$, действующая на блок со стороны нити, направлена под углом $\alpha/2$ к вертикали (рис. 3). Вместо $N'$ и $F_{\text{тр}}$ введём вектор полной силы реакции опоры

Из второго закона Ньютона для призмы в проекции на ось $Ox'$, перпендикулярную силе $\vec F_\Sigma$:

В приведённой формуле все слагаемые, кроме $Q_x$, не зависят от $F$, это означает, что $Q_x=0$. Такое возможно, если вектор $\vec Q$ направлен перпендикулярно оси $Ox'$, т.е. под углом $\alpha/2$ к вертикали. Тогда коэффициент трения:

Ускорение найдём, подставив $N=Mg\cos\alpha-Ma\sin\alpha$ в соотношение (a):

Откуда

В случае, когда трение не позволяет призме двигаться, сумма сил, действующих на неё, равна нулю:

Рассмотрим одно из возможных значений $F_\Sigma=0$, тогда

Последнее неравенство показывает, что при росте $F_\Sigma$ угол между вертикалью и вектором $\vec Q$ будет уменьшаться. А это означает, что $\beta$ — предельный угол отклонения $\vec Q$ от вертикали, т.е. $a=0$ при $\mu\geq8/19$.