Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 6. 10-Т1 · Переправа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Саранск, 2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный сборник: 83 страницы, 15 целых задач 9–11 классов и все напечатанные возможные решения и варианты. Архивное воспроизведение; исходные опечатки и несогласованности отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений используйте масштаб оригинального PDF.

Титул и авторы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Саранск, 2025 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-T1. Антон Вергунов
9-T2. Александр Ившин, Егор Васенин, Антон Вергунов
9-T3. Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4. Михаил Замятнин, Антон Вергунов
9-T5. Денис Рубцов
10-T1. Анна Шишкина
10-T2. Иван Юдин
10-T3. Александр Аполонский
10-T4. Алексей Заяц
10-T5. Александр Киреев, Леонид Колдунов
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Константин Соломатин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Александр Аполонский
11-T5. Константин Соломатин

В источнике заголовок ключа — «Возможные решения». Пять исходных задач каждого из 9, 10 и 11 классов сохранены целыми; номер внутреннего маршрута p1–p15 дополнен исходным обозначением класса/задачи. Ненумерованный запрос 11-Т1 не разбит на искусственные подпункты.

Условие

Из пункта $A$ , расположенного на одном берегу реки шириной $l$ , переправляется на противоположный берег небольшая моторная лодка. Берега реки параллельны друг другу. Скорость течения реки везде одинакова и равна $u$ . На противоположном берегу реки на одном перпендикуляре к берегам с пунктом $A$ расположен пункт $B$ . Скорость лодки относительно воды постоянна по величине и равна $2u$ , а её вектор в течение всего времени переправы перпендикулярен прямой $BC$ , где $C$ — центр лодки. В некоторый момент времени $t_1$ скорость лодки относительно берега перпендикулярна линии берега.

Original full river-bank diagram, A/B, widthl and flowu.

1 В каком направлении лодка начала движение из пункта $A$ : по течению или против течения? Ответ обоснуйте.

2 Найдите угол $\angle ABC$ в момент времени $t_1$ .

3 На каком расстоянии от пункта $B$ будет находиться лодка, когда она достигнет противоположного берега реки?

4 На каком расстоянии от пункта $B$ будет находиться лодка в момент времени $t_1$ ?

5 Найдите радиус кривизны траектории лодки в системе отсчёта берега для двух случаев: а) в момент старта из пункта $A$ ; б) в момент времени $t_1$ .

Решение

Рассмотрим случай, когда лодка начинает движение по течению реки. Введём систему координат с началом в пункте $A$ , ось $x$ направим вдоль скорости течения, а ось $y$ направим к пункту $B$ . Пусть $r$ — расстояние от точки $B$ до центра лодки, $\angle ABC=\alpha$ . Тогда для движения «по течению» элементарные приращения за малое время $\mathrm dt$ :

\mathrm dr=u\sin\alpha\,\mathrm dt,\qquad (1)

\mathrm dx=2u\cos\alpha\,\mathrm dt+u\,\mathrm dt,\qquad (2)

\mathrm dy=2u\sin\alpha\,\mathrm dt.\qquad (3)

Complete original downstream-motion river/coordinates/r/alpha/u/2u velocity triangle with all bank boundaries.

В любой момент времени до достижения лодкой противоположного берега $0\leq\alpha\leq\pi/2$ , поэтому $v_x=\mathrm dx/\mathrm dt=2u\cos\alpha+u\geq u>0$ . Поэтому скорость относительно берега не может быть направлена перпендикулярно линии берега. Отсюда делаем вывод, что лодка начала движение из пункта $A$ против течения.

Итак, лодка начинает движение против течения реки. Введём также систему координат с началом в пункте $A$ , ось $x$ направим вдоль скорости течения, а ось $y$ направим к пункту $B$ , $r$ — расстояние от точки $B$ до центра лодки, $\angle ABC=\alpha$ . Тогда для движения «против течения» элементарные приращения за малое время $\mathrm dt$ :

\mathrm dr=-u\sin\alpha\,\mathrm dt,\qquad (4)

\mathrm dx=-2u\cos\alpha\,\mathrm dt+u\,\mathrm dt,\qquad (5)

\mathrm dy=2u\sin\alpha\,\mathrm dt.\qquad (6)

Complete native upstream-motion river/velocity geometry, A/B, x/y/r/u/2u/alpha and dashed curve.

При движении перпендикулярно линии берега $\mathrm dx=0$ , тогда из уравнения (5) следует $-2u\cos\alpha+u=0\Longrightarrow\cos\alpha=1/2\Longrightarrow\alpha=60^\circ=\pi/3$ .

Умножая уравнение (4) на 2 и складывая с уравнением (6), получим

2\mathrm dr+\mathrm dy=0\Longrightarrow2r+y=\mathrm{const}.

Вычислим эту константу в момент начала движения ( $r_A=l$ , $y_A=0$ ), откуда $r(y)=l-y/2$ . В момент достижения противоположного берега

y_B=l\Longrightarrow r_B=l/2.

В момент времени $t_1$ из геометрических соображений можно записать, что $r\cos\alpha=l-y$ . Подставляя зависимость $r(y)$ и значение угла $\alpha$ в этот момент времени, получим уравнение:

\tfrac12(l-y_1/2)=l-y_1\Longrightarrow y_1=\tfrac23l\Longrightarrow r_1=\tfrac23l.

Для нахождения радиуса кривизны траектории найдём скорость и ускорение в нужных точках. Скорость относительно берега равна сумме скорости воды $\vec u$ в реке и скорости лодки $\vec u_{\text{л}}$ относительно воды: $\vec v=\vec u+\vec u_{\text{л}}$ . После возведения в квадрат получаем:

v=\sqrt{\vec u^{\,2}+\vec u_{\text{л}}^{\,2}+2(\vec u\cdot\vec u_{\text{л}})}=\sqrt{u^2+4u^2+4u^2\cos\angle(\vec u;\vec u_{\text{л}})}=u\sqrt{5+4\cos\angle(\vec u;\vec u_{\text{л}})}.

Для точки старта $\angle(\vec u;\vec u_{\text{л}})=\pi$ , тогда скорость равна $v_A=u$ . Для момента времени $t_1$ угол между скоростями $\angle(\vec u;\vec u_{\text{л}})=\pi-\alpha$ , тогда скорость равна $v_1=u\sqrt3$ .

Скорость лодки равна векторной сумме скоростей течения воды и лодки относительно воды. Скорость течения не меняется ни по модулю, ни по направлению. Скорость лодки не меняется по модулю, но меняется по направлению. Производная вектора скорости лодки по модулю равна произведению угловой скорости вращения вектора $\vec u_{\text{л}}$ на модуль этого вектора. Получим выражение для ускорения лодки:

\vec a_{\text{абс}}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\vec u+\vec u_{\text{л}})=\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm d\vec u_{\text{л}}}{\mathrm dt}=\vec a_{\text{л}},

|\vec a_{\text{л}}|=2u\omega_\alpha=2u\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt}.

Для нахождения производной угла $\alpha$ надо компоненту скорости, перпендикулярную отрезку $BC$ , поделить на расстояние $r$ :

v_\perp=2u-u\cos\alpha,\qquad\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt}=\omega_\alpha=\frac{2u-u\cos\alpha}{r}.

В момент выхода из пункта $A$ угол $\alpha=0$ , поэтому:

\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt}=\frac ul\Longrightarrow a_A=\frac{2u^2}{l}.

В момент времени $t_1$ угол $\alpha=\pi/3$ , значит:

\frac{\mathrm d\alpha}{\mathrm dt}=\frac{3u/2}{2l/3}=\frac{9u}{4l}\Longrightarrow a_1=\frac{9u^2}{2l}.

В пункте отправления скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, поэтому найти радиус кривизны траектории можно следующим образом:

R_A=\frac{v_A^2}{a_A}=\frac l2.

Для момента времени $t_1$ найдём проекцию ускорения на перпендикуляр к скорости движения, т.е. на ось $Ox$ : $a_{1x}=a_1\sin\alpha=9u^2\sqrt3/(4l)$ , тогда радиус кривизны траектории в этой точке:

R_1=\frac{v_1^2}{a_{1x}}=\frac{4\sqrt3l}{9}.

Оригинал в Архива: Ru25-T.pdf · решение от архива: Ru25-T.pdf