Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 5. 9-Т5 · Неламповый диод

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Саранск, 2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный сборник: 83 страницы, 15 целых задач 9–11 классов и все напечатанные возможные решения и варианты. Архивное воспроизведение; исходные опечатки и несогласованности отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений используйте масштаб оригинального PDF.

Титул и авторы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Саранск, 2025 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-T1. Антон Вергунов
9-T2. Александр Ившин, Егор Васенин, Антон Вергунов
9-T3. Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4. Михаил Замятнин, Антон Вергунов
9-T5. Денис Рубцов
10-T1. Анна Шишкина
10-T2. Иван Юдин
10-T3. Александр Аполонский
10-T4. Алексей Заяц
10-T5. Александр Киреев, Леонид Колдунов
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Константин Соломатин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Александр Аполонский
11-T5. Константин Соломатин

В источнике заголовок ключа — «Возможные решения». Пять исходных задач каждого из 9, 10 и 11 классов сохранены целыми; номер внутреннего маршрута p1–p15 дополнен исходным обозначением класса/задачи. Ненумерованный запрос 11-Т1 не разбит на искусственные подпункты.

Условие

На рисунке изображена схема электрической цепи с регулируемым источником тока. Такой источник выдаёт во внешнюю цепь электрический ток заданной силы, а напряжение на его выводах подстраивается под параметры внешней цепи.

Complete source current-source bridge, A/B, resistorsR1/R2/R3, ammeter and I0 arrow.

При подключении к контактам $A$ и $B$ последовательно соединённых диода и лампы показания амперметра равны нулю при двух ненулевых значениях силы тока через источник $I_{01}$ и $I_{02}$ .

Считайте, что сила тока $I_{\text{л}}$ , протекающего через лампу, и напряжение на ней связаны соотношением:

I_{\text{л}}=\alpha U_{\text{л}}^{2/3}.

Для диода сила тока $I_{\text{д}}$ пропорциональна квадрату напряжения на нём:

I_{\text{д}}=\beta U_{\text{д}}^2.

Сопротивления резисторов $R_1$ , $R_2$ и $R_3$ , а также коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ неизвестны.

1 При каком ненулевом значении силы тока $I_{03}$ источника показания амперметра будут равны нулю, если к точкам $A$ и $B$ подключить только лампу?

2 При каком ненулевом значении силы тока $I_{04}$ источника показания амперметра будут равны нулю, если к точкам $A$ и $B$ подключить только диод?

Решение

Пусть сила тока источника равна $I_0$ . Показания амперметра равны нулю при сбалансированном мосте, сила тока через резистор $R_2$ (и через нелинейный элемент, подключённый к точкам $A$ и $B$ ) равна:

I_{AB}=I_0\frac{R_3}{R_2+R_3}.

Сила тока через резисторы $R_1$ и $R_3$ равна:

I_1=I_3=I_0\frac{R_2}{R_2+R_3}.

Тогда напряжение между точками $A$ и $B$ равно:

U_{AB}=I_0\frac{R_2R_1}{R_2+R_3}.

Введём статическое сопротивление нелинейного элемента, подключённого к точкам $A$ и $B$ :

R_{AB}=\frac{U_{AB}}{I_{AB}},

где $I_{AB}$ — сила тока, протекающего через элементы, подключенные к точкам $A$ и $B$ . В таком случае, показания амперметра равны нулю, если $R_{AB}R_3=R_1R_2$ . Вольтамперные характеристики лампы и диода задаются соотношениями:

I_{\text{л}}=\alpha U_{\text{л}}^{2/3},\qquad I_{\text{д}}=\beta U_{\text{д}}^2,

или, выражая напряжение через ток:

U_{\text{л}}=\frac{I_{\text{л}}^{3/2}}{\alpha^{3/2}},\qquad U_{\text{д}}=\frac{\sqrt{I_{\text{д}}}}{\sqrt\beta}.

Статическое сопротивление лампы и диода соответственно равны:

R_{\text{л}}=\frac{U_{\text{л}}}{I_{\text{л}}}=\frac{I_{\text{л}}^{1/2}}{\alpha^{3/2}};\qquad R_{\text{д}}=\frac{U_{\text{д}}}{I_{\text{д}}}=\frac1{\sqrt{I_{\text{д}}\beta}}.

Тогда при их последовательном соединении сопротивление выражается следующим образом:

R_{AB}=R_{\text{л}}+R_{\text{д}}=\frac{\sqrt{I_{AB}}}{\alpha^{3/2}}+\frac1{\sqrt{\beta I_{AB}}}.

Это уравнение сводится к квадратному, для решения которого используем теорему Виета:

I_{AB}-R_{AB}\alpha^{3/2}\sqrt{I_{AB}}+\frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt\beta}=0;

\sqrt{I_{AB1}I_{AB2}}=\frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt\beta},\qquad\sqrt{I_{AB1}}+\sqrt{I_{AB2}}=\alpha^{3/2}R_{AB}.

Так как

I_{AB1}=I_{01}\frac{R_3}{R_2+R_3},\qquad I_{AB2}=I_{02}\frac{R_3}{R_2+R_3},

то

\alpha^{3/2}=\frac{\sqrt{I_{01}}+\sqrt{I_{02}}}{R_{AB}}\sqrt{\frac{R_3}{R_2+R_3}},\qquad\sqrt\beta=\frac{\sqrt{I_{01}}+\sqrt{I_{02}}}{\sqrt{I_{01}I_{02}}R_{AB}}\sqrt{\frac{R_2+R_3}{R_3}}.

Статическое сопротивление лампы равно $R_{AB}=R_1R_2/R_3$ при силе тока через неё:

I_{\text{л}}=\frac{R_3}{R_2+R_3}(\sqrt{I_{01}}+\sqrt{I_{02}})^2.

Тогда ток через источник:

I_{03}=(\sqrt{I_{01}}+\sqrt{I_{02}})^2.

Статическое сопротивление диода равно $R_{AB}=R_1R_2/R_3$ при силе тока через него:

I_{\text{д}}=\frac{R_3}{R_2+R_3}\frac{I_{01}I_{02}}{(\sqrt{I_{01}}+\sqrt{I_{02}})^2}.

Тогда ток через источник:

I_{04}=\frac{I_{01}I_{02}}{(\sqrt{I_{01}}+\sqrt{I_{02}})^2}.

Оригинал в Архива: Ru25-T.pdf · решение от архива: Ru25-T.pdf