Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 4. 9-Т4 · Горячо–холодно

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Саранск, 2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный сборник: 83 страницы, 15 целых задач 9–11 классов и все напечатанные возможные решения и варианты. Архивное воспроизведение; исходные опечатки и несогласованности отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений используйте масштаб оригинального PDF.

Титул и авторы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Саранск, 2025 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-T1. Антон Вергунов
9-T2. Александр Ившин, Егор Васенин, Антон Вергунов
9-T3. Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4. Михаил Замятнин, Антон Вергунов
9-T5. Денис Рубцов
10-T1. Анна Шишкина
10-T2. Иван Юдин
10-T3. Александр Аполонский
10-T4. Алексей Заяц
10-T5. Александр Киреев, Леонид Колдунов
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Константин Соломатин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Александр Аполонский
11-T5. Константин Соломатин

В источнике заголовок ключа — «Возможные решения». Пять исходных задач каждого из 9, 10 и 11 классов сохранены целыми; номер внутреннего маршрута p1–p15 дополнен исходным обозначением класса/задачи. Ненумерованный запрос 11-Т1 не разбит на искусственные подпункты.

Условие

На рисунке приведён фрагмент графика зависимости от времени $\tau$ средней мощности $N_{\text{ср}}$ , равной отношению суммарного количества теплоты, переданного слитку серебра массой $m=50\ \text{г}$ , ко времени его теплообмена с внешними телами. Через некоторое время после начала теплообмена температура слитка в состоянии $A$ увеличилась до $t_A=40^\circ\mathrm C$ , а спустя ещё $2{,}2\ \text{мин}$ (в состоянии $B$ ) она вновь оказалась равной $t_A$ . Удельная теплоёмкость серебра $c=240\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot{}^\circ\mathrm C)$ .

Complete native cropped-information graph including every grid boundary, printed vertical axis/ticks,4.0W and A/B/C/D.

1 Восстановите координатные оси графика и их масштаб, если известно, что начало оси времени нагрева совпадает с началом оси $N_{\text{ср}}$ .

2 Найдите начальную температуру $t_0$ слитка серебра (при $\tau=0$ ).

3 Найдите температуры слитка, средние и мгновенные мощности теплообмена с внешними телами в состояниях, соответствующих точкам $C$ и $D$ .

Решение

Первый способ

Full original shaded-area heat graphFig1 with all hatching, grid boundaries and A/B/C/D plus4.0W axis label.

Для нагрева слитка серебра от начальной температуры $t_0$ до температуры $t$ необходимо сообщить ему суммарное количество теплоты:

Q=cm(t-t_0).

С другой стороны, количество теплоты $Q$ можно выразить через среднюю мощность $N_{\text{ср}}$ и время теплообмена $\tau$ :

Q=N_{\text{ср}}\tau.

По условию задачи температуры в состояниях $A$ и $B$ равны, следовательно, суммарное количество теплоты, сообщённое слитку в моменты времени $\tau_A$ и $\tau_B$ , также одинаково. Это означает, что площади прямоугольников, соответствующих этим процессам на графике (см. рисунок 1), равны, так как они пропорциональны количеству теплоты. Таким образом, выполняется равенство:

N_{A\text{ср}}\tau_A=N_{B\text{ср}}\tau_B.

Для восстановления оси времени необходимо обеспечить равенство площадей прямоугольников с одинарной штриховкой на графике.

Второй способ

По условию задачи температуры в состояниях $A$ и $B$ равны, следовательно, эти точки лежат на одной гиперболе. Если две вершины прямоугольника расположены на одной гиперболе, то прямая, проходящая через две другие вершины, должна пересекать начало координат. Это следует из подобия треугольников, образованных описанной прямой и осями координат (см. рисунок 2).

Full original alternate rectangle-diagonal/hyperbola construction graphFig2, origin/grid/ticks/A/B/C/D.

Зная, что $\tau_B-\tau_A=2{,}2\ \text{мин}$ , восстановим график зависимости:

Complete restored graphFig3 with both coordinate axes/units/all ticks and A/B/C/D.

Из графика известно, что $N_{A\text{ср}}=2\ \text{Вт}$ и $\tau_A=1{,}8\ \text{мин}=108\ \text{с}$ , тогда:

N_{A\text{ср}}\tau_A=cm(t_A-t_0)\Longrightarrow t_0=t_A-\frac{N_{A\text{ср}}\tau_A}{cm},\qquad t_0=22^\circ\mathrm C.

Из графика известно, что $N_{C\text{ср}}\approx2{,}2\ \text{Вт}$ , $\tau_C=2{,}4\ \text{мин}=144\ \text{с}$ , $N_{D\text{ср}}=2\ \text{Вт}$ и $\tau_D=3\ \text{мин}=180\ \text{с}$ . Тогда:

N_{C\text{ср}}\tau_C=cm(t_C-t_0);\qquad N_{D\text{ср}}\tau_D=cm(t_D-t_0),

N_{C\text{ср}}\approx2{,}2\ \text{Вт};\qquad N_{D\text{ср}}=2\ \text{Вт},

t_C=t_0+\frac{N_{C\text{ср}}\tau_C}{cm}\approx48{,}4^\circ\mathrm C;\qquad t_D=t_0+\frac{N_{D\text{ср}}\tau_D}{cm}=52^\circ\mathrm C.

Получим выражение, позволяющее найти значение мгновенной мощности в произвольный момент времени. Для этого рассмотрим малый промежуток времени $\Delta\tau\to0$ . За этот промежуток времени количество теплоты $\Delta Q$ можно выразить через мгновенную мощность $N_{\text{мгн}}$ :

\Delta Q=N_{\text{мгн}}\Delta\tau.

С другой стороны, $\Delta Q$ можно выразить через изменение площади прямоугольника на графике зависимости $N_{\text{ср}}(\tau)$ :

\Delta Q=(N_{\text{ср}}+\Delta N_{\text{ср}})(\tau+\Delta\tau)-N_{\text{ср}}\tau=\Delta N_{\text{ср}}\tau+N_{\text{ср}}\Delta\tau+\Delta N_{\text{ср}}\Delta\tau.

Пренебрегая малыми величинами второго порядка ( $\Delta N_{\text{ср}}\Delta\tau\approx0$ ), получаем:

\Delta Q\approx\Delta N_{\text{ср}}\tau+N_{\text{ср}}\Delta\tau.

Приравнивая выражения для $\Delta Q$ , находим:

N_{\text{мгн}}\Delta\tau=\Delta N_{\text{ср}}\tau+N_{\text{ср}}\Delta\tau.

Разделив на $\Delta\tau$ , получаем выражение для мгновенной мощности:

N_{\text{мгн}}=\frac{\Delta N_{\text{ср}}}{\Delta\tau}\tau+N_{\text{ср}},

где величина $k=\Delta N_{\text{ср}}/\Delta\tau$ пропорциональна угловому коэффициенту касательной к графику $N_{\text{ср}}(\tau)$ . Аналогичное выражение можно получить, используя дифференцирование:

N_{\text{мгн}}=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm d\tau}=\frac{\mathrm d(N_{\text{ср}}\tau)}{\mathrm d\tau}=\frac{\mathrm dN_{\text{ср}}}{\mathrm d\tau}\tau+N_{\text{ср}}.

Построим касательные к графику в точках $C$ и $D$ и рассчитаем их угловые коэффициенты наклона:

k_C=0\ \text{Вт}/\text{с},\qquad k_D=-\frac23\ \text{Вт}/\text{с}.

Complete native heat graphFig4, both tangents, axis units/ticks,A/B/C/D and grid.

Возможен другой способ решения. Зная $N_{\text{ср}}(\tau)$ , построим график зависимости $Q(\tau)=N_{\text{ср}}\cdot\tau$ для моментов времени $\tau\in[0;4]\ \text{мин}$ , проведём гладкую кривую и построим касательные к графику $Q(\tau)$ в указанные моменты времени. Угловые коэффициенты касательных будут равны мгновенной мощности:

N_{\text{мгн}}=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm d\tau}.

Тогда:

N_{C\text{мгн}}=k_C\tau_C+N_{C\text{ср}}\approx2{,}2\ \text{Вт};\qquad N_{D\text{мгн}}=k_D\tau_D+N_{D\text{ср}}=0\ \text{Вт}.

Примечание к источнику: на странице34 единицы $k_D$ напечатаны «Вт/с», а ось времени на графиках дана в минутах; на странице35 результат $N_{D\text{мгн}}=0\ \text{Вт}$ сохранён буквально.

Оригинал в Архива: Ru25-T.pdf · решение от архива: Ru25-T.pdf