Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 3. 9-Т3 · Задача трёх тел

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Саранск, 2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный сборник: 83 страницы, 15 целых задач 9–11 классов и все напечатанные возможные решения и варианты. Архивное воспроизведение; исходные опечатки и несогласованности отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений используйте масштаб оригинального PDF.

Титул и авторы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Саранск, 2025 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-T1. Антон Вергунов
9-T2. Александр Ившин, Егор Васенин, Антон Вергунов
9-T3. Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4. Михаил Замятнин, Антон Вергунов
9-T5. Денис Рубцов
10-T1. Анна Шишкина
10-T2. Иван Юдин
10-T3. Александр Аполонский
10-T4. Алексей Заяц
10-T5. Александр Киреев, Леонид Колдунов
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Константин Соломатин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Александр Аполонский
11-T5. Константин Соломатин

В источнике заголовок ключа — «Возможные решения». Пять исходных задач каждого из 9, 10 и 11 классов сохранены целыми; номер внутреннего маршрута p1–p15 дополнен исходным обозначением класса/задачи. Ненумерованный запрос 11-Т1 не разбит на искусственные подпункты.

Условие

В далёкой-далёкой галактике станции инопланетян способны притягивать космические корабли, находящиеся в зоне их действия. Сила притяжения $\vec F$ прямо пропорциональна расстоянию $\vec r$ от станции до корабля: $\vec F=-P\vec r$ , где $P$ — коэффициент силы станции.

Три такие станции расположены в вершинах прямоугольного треугольника с углом $30^\circ$ и гипотенузой длиной $l$ . Две станции, находящиеся в вершинах острых углов, характеризуются коэффициентом силы $P$ , а станция в вершине прямого угла — коэффициентом силы $2P$ .

В пунктах 1–3 космические станции неподвижны.

Примечание: все объекты можно считать точечными, на корабль не действуют другие силы, кроме сил притяжения со стороны станций.

1 Определите расстояния от каждой станции до точки, в которой корабль будет находиться в равновесии.

2 В начальный момент времени космический корабль массой $m$ находится на середине гипотенузы треугольника, в вершинах которого находятся станции. Скорость корабля равна нулю, двигатели не работают.

Определите максимальную скорость корабля $v_{\max}$ в процессе дальнейшего движения.

3 На какое минимальное расстояние в процессе движения корабль приблизится к станции, находящейся в вершине прямого угла?

4 Космический корабль вновь оказывается в середине гипотенузы с нулевой начальной скоростью. Однако в этот момент времени станция в вершине прямого угла начинает двигаться с постоянной скоростью $u=2v_{\max}$ вдоль прямой, перпендикулярной её начальному направлению на корабль (см. рисунок). Станции, находящиеся в вершинах острых углов, остаются неподвижными.

Original triangle, P/P/2P stations, ship K and moving-station u arrow with all dashed directions.

Спустя какое время и на каком расстоянии от начального положения корабль впервые остановится?

Решение

Первый способ

Рассмотрим положение корабля в точке $M$ , расстояния до которой от вершин $A$ , $B$ и $C$ прямоугольного треугольника равны $\vec r_1$ , $\vec r_2$ и $\vec r_3$ соответственно. Введём векторы:

\vec a=\vec r_3-\vec r_2,\qquad\vec b=\vec r_3-\vec r_1.

Суммарная сила, действующая на корабль в положении равновесия, равна нулю:

\vec F=-P\vec r_1-P\vec r_2-2P\vec r_3=0\Longrightarrow\vec r_1+\vec r_2+2\vec r_3=0.

Выразим $\vec r_1$ и $\vec r_2$ через $\vec r_3$ и подставим в полученное выражение:

\vec r_1=\vec r_3-\vec b;\quad\vec r_2=\vec r_3-\vec a;\quad\vec r_3-\vec b+\vec r_3-\vec a+2\vec r_3=0\Longrightarrow\vec r_3=\tfrac14(\vec a+\vec b).

Complete native first-method worked block and vector diagram A/B/C/M, a/b/c and r1/r2/r3, all original prose/equations. The printed vector-a label overlaps the adjacent prose baseline, so the whole block is retained without clipping or masking.

Второй способ

Покажем, что совместное действие двух станций, расположенных в вершинах острых углов треугольника, эквивалентно действию одной станции с коэффициентом силы $2P$ , находящейся на середине гипотенузы. На рисунке эти две станции расположены в точках $A$ и $B$ , а космический корабль — в точке $K$ . Сила, действующая на объект со стороны станций $A$ и $B$ , выражается как:
$\vec F_{AB}=-P(\vec r_A+\vec r_B).$

Complete native second-method vector triangle A/B/C/O/K, a/b and rA/rB/rC/rO, all dashed rectangle boundaries.

Учитывая, что

\vec r_A=-\vec b+\vec r_C+\vec r_O,\qquad\vec r_B=-\vec a+\vec r_C+\vec r_O,

подставим эти выражения в формулу для силы:

\vec F_{AB}=-P(-\vec b+\vec r_C+\vec r_O-\vec a+\vec r_C+\vec r_O)=-2P\vec r_O.

Из полученной формулы следует, что результирующая сила в точности равна силе, создаваемой станцией с коэффициентом $2P$ , расположенной в середине отрезка $AB$ . Таким образом, в дальнейшем мы можем считать, что на корабль действуют две станции:

одна с коэффициентом $2P$ находится в вершине прямого угла (станция $C$ ),
другая с коэффициентом $2P$ находится на середине гипотенузы (станция $O$ ).

Далее можем заменить воздействие этих станций воздействием пружин, длины которых в недеформированном состоянии пренебрежимо малы (равны нулю), а коэффициенты жёсткости равны $2P$ (см. рисунок). С учётом коэффициентов жёсткости эквивалентных пружин легко определить положение точки равновесия для корабля — точка, которая делит медиану $CO$ пополам.

Full original two zero-rest-length equivalent springs, A/B/C/O/M,2P labels and triangle.

Третий способ

Для нахождения положения равновесия рассмотрим систему из трёх точечных масс, расположенных в вершинах треугольника: по $m$ в вершинах острых углов и $2m$ — в вершине прямого угла. Тогда радиус-вектор, проведённый из произвольной точки $M$ до центра масс будет определяться по формуле:

4m\vec r_{\text{цм}}=m\vec r_1+m\vec r_2+2m\vec r_3.

В случае, если $M$ является центром масс системы, то

\vec r_{\text{цм}}=0\Longrightarrow\vec r_1+\vec r_2+2\vec r_3=0,

что совпадает с выражением, полученным из условия равновесия корабля. Найдём координаты центра масс системы приняв за начало отсчёта вершину $C$ :

y_{\text{цм}}=\frac{ml\cos30^\circ}{4m}=\frac{\sqrt3l}{8};\qquad x_{\text{цм}}=\frac{ml\sin30^\circ}{4m}=\frac l8.

Далее по теореме Пифагора определяем расстояния от точки равновесия до станций:

CM=\frac l4;\qquad BM=\frac{\sqrt3l}{4};\qquad AM=\frac{\sqrt7l}{4}.

В начальный момент времени космический корабль покоится, а суммарная сила, действующая на него со стороны станций, направлена вдоль отрезка $CO$ . Это означает, что ускорение корабля также направлено вдоль $CO$ , и, следовательно, корабль будет двигаться прямолинейно вдоль этого отрезка и достигнет максимальной скорости в точке равновесия.

Первый способ

Посмотрим на отклонение корабля от положения равновесия на вектор $\overrightarrow{MK}$ . Изменение суммарной силы со стороны станций равно:

\Delta\vec F=\vec F-\vec0=\vec F=\Delta\vec F_A+\Delta\vec F_B+\Delta\vec F_C=-P(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM})-P(\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BM})-2P(\overrightarrow{CK}-\overrightarrow{CM})=-4P\overrightarrow{MK}.

Значит, на корабль действует такая же сила, как от пружины с коэффициентом упругости $4P$ с нулевой начальной длиной, натянутой между точками $M$ и $K$ . Тогда при перемещении корабля от середины гипотенузы до точки $M$ эта пружина совершит над кораблём работу:

A=\frac{4P(l/4)^2}{2}=\frac{mv_{\max}^2}{2}.

Второй способ

Воспользуемся аналогией с двумя пружинами и запишем закон сохранения энергии:

\frac{2P(l/2)^2}{2}=\frac{2P(l/4)^2}{2}+\frac{2P(l/4)^2}{2}+\frac{mv_{\max}^2}{2}.

Третий способ

Элементарная работа силы, действующей со стороны некоторой станции, определяется выражением:

\delta A=(\vec F\cdot\mathrm d\vec s)=-Pr\,\mathrm dr\Longrightarrow A=-\int_{r_1}^{r_2}Pr\,\mathrm dr=\frac{Pr_1^2}{2}-\frac{Pr_2^2}{2}.

Максимальная скорость корабля будет достигнута при прохождении положения равновесия. Запишем закон сохранения энергии для этого случая:

\frac{2P(l/2)^2}{2}+2\frac{P(l/2)^2}{2}=\frac{2P(l/4)^2}{2}+\frac{P(\sqrt3l/4)^2}{2}+\frac{P(\sqrt7l/4)^2}{2}+\frac{mv_{\max}^2}{2}.

Любым из трёх способов получаем ответ:

v_{\max}=\frac l2\sqrt{\frac Pm}.

Первый способ

Как мы показали ранее, сила, действующая на корабль, аналогична силе со стороны пружины с началом в точке $M$ . Тогда движение корабля — колебания вдоль отрезка $CO$ . Корабль, пролетев точку $M$ , полетит к точке $C$ и остановится около неё.

Full native minimum-distance spring diagram, C/K/M/O/A/B and dashed triangle.

Второй способ

При движении корабля под действием пары пружин, он будет двигаться вдоль отрезка $CO$ , останавливаясь в точке $O$ и в точке $X$ , где потенциальная энергия системы пружин равна её энергии при положении корабля в точке $O$ . Это условие можно записать в виде уравнения:

\frac{2P(l/2)^2}{2}=\frac{2Px^2}{2}+\frac{2P(l/2-x)^2}{2},

где $x$ — расстояние от точки $C$ до точки $X$ . Полученное выражение сводится к квадратному уравнению:

2x^2-lx=0,

решая которое, получаем два корня:

x_1=\frac l2,\qquad x_2=0.

Корень $x=l/2$ соответствует точке на середине гипотенузы, где корабль находился в начальный момент времени. Таким образом, минимальное расстояние от корабля до точки $C$ равно нулю.

Как мы показали в решении пункта 2, сила, действующая на корабль, равна $\vec F=-4P\overrightarrow{MK}$ , где $M$ — центр масс системы с точечными массами $(m,m,2m)$ , расположенными в вершинах $A$ , $B$ и $C$ . В отличие от предыдущих пунктов, точка $M$ не покоится. По свойству центра масс:

\vec v_M=\frac{m\vec v_A+m\vec v_B+2m\vec v_C}{4m}=\frac{\vec v_C}{2}.

Следовательно, скорость точки $M$ постоянна по направлению и равна $v_{\max}$ по модулю. Для окончательного упрощения системы перейдём в инерциальную систему отсчёта точки $M$ .

В этой системе отсчёта начальная скорость $v_{\max}$ точки $K$ направлена перпендикулярно пружине. Заметим, что $v_{\max}$ — это скорость движения по окружности радиусом $MK=l/4$ под действием силы $4P\cdot MK$ :

\frac{mv_{\max}^2}{2}=4P\frac{MK^2}{2},\qquad\frac{mv_{\text{окр}}^2}{MK}=4P\cdot MK,\qquad v_{\max}=v_{\text{окр}}.

Complete source co-moving circular motion/spring diagram, M/K/vmax, dashed circumference and velocity arrow.

Следовательно, в системе отсчёта точки $M$ корабль будет равномерно двигаться по окружности радиусом $l/4$ со скоростью $v_{\max}$ , найденной в пункте 2. Когда корабль совершит один оборот вокруг точки $M$ , его скорость в лабораторной системе отсчёта впервые обнулится. Это произойдет через время:

T=\frac{2\pi l/4}{v_{\max}}=\frac\pi{\sqrt{P/m}}=\pi\sqrt{\frac mP}.

В системе отсчёта точки $M$ перемещение корабля за один период равно нулю. Значит, в ЛСО корабль сместился на такое же расстояние, что и точка $M$ .

S=v_{\max}T=\frac{\pi l}{2}.

Обратим внимание, что траектория движения корабля, представляющая собой наложение движения по окружности и равномерного движения её центра, представляет собой циклоиду, как показано на рисунке.

Complete original cycloid/alien-station trajectory diagram, A/B/C/O and both trajectory labels/arrows.

Оригинал в Архива: Ru25-T.pdf · решение от архива: Ru25-T.pdf