ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 2. 9-Т2 · Сингулярность

Первый способ

Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, движущуюся влево с ускорением $\vec a$. В этой системе цилиндр покоится, и на него действует эффективная сила тяжести:

Заметим, что с увеличением ускорения $a$ угол $\gamma$ между вертикалью и вектором $M\vec g_{\text{эф}}$ увеличивается.

Расставим силы, действующие на цилиндр в этой системе отсчёта:

• сила реакции $Q$ со стороны горизонтальной поверхности, направленная под углом $\varphi$ к вертикали. $\operatorname{tg}\varphi=\mu$, так как происходит движение с проскальзыванием.
• Сила реакции $Q_1$ со стороны доски направлена под некоторым углом $\alpha$ к радиусу, проведённому в точку касания.

Случай 1: $\mu<\sqrt3$, линия дейcтвия силы $Q$ проходит левее точки контакта цилиндра с доской (точки $A$). Для равновесия цилиндра необходимо, чтобы силы $Q$, $Q_1$ и $Mg_{\text{эф}}$ пересекались в одной точке (по теореме о трёх непараллельных силах). Угол $\varphi$ фиксирован, а угол $\alpha$ увеличивается при уменьшении ускорения $a$. Максимальное значение угла $\alpha$ равно $\varphi$:

Из геометрии задачи следует, что при $\alpha=\varphi$ угол между эффективной силой тяжести и вертикалью равен $30^\circ$. Следовательно:

С увеличением ускорения $a$ угол $\alpha$ уменьшается, пока $Mg_{\text{эф}}$ и $Q_1$ не станут направленными вдоль одной прямой. Дальнейшее увеличение $a$ приведёт к нарушению равновесия, и цилиндр начнёт закатываться на доску. При этом сила реакции $Q$ станет равной нулю. Следовательно:

Случай 2: $\mu>\sqrt3$ Линия дейcтвия силы $Q$ проходит ниже точки контакта цилиндра с доской.

По теореме о трёх непараллельных силах, с учётом того, что $0<\alpha\leq\varphi$, получаем два возможных диапазона для угла $\gamma$, при которых три силы пересекаются в одной точке:

• $\gamma\in[0;30^\circ]$ и вектор $Q$ направлен в точку пересечения трёх сил.
• $\gamma\in(60^\circ;90^\circ)$ и продолжение вектора $Q$ в обратном направлении проходит через точку пересечения трёх сил (см. рис.).

При $\gamma\in[0^\circ;30^\circ]$ все три вектора сил направлены в одну полуплоскость, следовательно, их сумма не может быть равна нулю. Значит, равновесие в этом случае невозможно. Для $\gamma\in(60^\circ;90^\circ)$ по аналогии с первым случаем получаем

Случай 3: $\mu=\sqrt3$

$\varphi=60^\circ$, линия действия силы $Q$ проходит через точку $A$. Тогда либо линии действия сил $Q$ и $Q_1$ совпадают, либо пересекаются в точке $A$. Первое невозможно, так как в этом случае для выполнения условия равновесия $Mg_{\text{эф}}$ должна быть параллельна $Q$ и $Q_1$, чего быть не может. Значит, линии действия сил $Q$ и $Q_1$ пересекаются в точке $A$. Тогда по теореме о трёх непараллельных силах $Mg_{\text{эф}}$ тоже направлена в точку $A$, откуда однозначно находим значение ускорения:

Второй способ

Расставим силы, действующие на цилиндр, и запишем теорему о движении центра масс для цилиндра в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

Из условия задачи можем найти угол $\alpha$:

Так как цилиндр скользит по горизонтальной поверхности, сила трения равна соответственно:

Для того чтобы цилиндр не вращался, должно выполняться правило моментов относительно его центра:

Формально, предыдущее уравнение необходимо писать в системе отсчёта центра масс цилиндра. Но при переходе в неинерциальные системы отсчёта, силы инерции прикладываются к центру масс тела, соответственно не создают момента сил относительно него. Подставим значения сил трения в систему уравнений:

Для выполнения условия равноускоренного движения цилиндра без вращения необходимо выполнение следующих соотношений:

Первое условие гарантирует контакт цилиндра с горизонтальной поверхностью, второе гарантирует отсутствие проскальзывания между цилиндром и доской. Из уравнения на вертикальную ось выразим $N_1$:

Подставим значение $N_1$ в уравнение на горизонтальную ось:

Сгруппируем слагаемые с $N$ с одной стороны равенства:

Домножим обе стороны равенства на $(1-\mu\cos\alpha)$:

откуда получаем выражение для значения $N$:

Подставляя значение для угла $\alpha=30^\circ$:

Подставляя это выражение в выражение для силы $N_1$:

Теперь, чтобы получить возможные значения для $a$ нам необходимо проанализировать неравенство $0<N_1<N$. Видим, что в знаменателе $N$ и $N_1$ есть сингулярность при определенном значении коэффициента трения $\mu=\sqrt3$. Рассмотрим по отдельности три случая.

Случай 1: $\mu<\sqrt3$

$N_1<N$:

откуда получаем $a>g/\sqrt3$.

Случай 2: $\mu>\sqrt3$

$N_1<N$:

откуда получаем $a>g/\sqrt3$. Первое условие более строгое, чем второе, откуда получаем ответ:

Случай 3: $\mu=\sqrt3$

Этот случай нельзя напрямую проанализировать из полученных уравнений, т. к. знаменатель дробей обращается в ноль. Чтобы получить ответ для этого случая, вернёмся к исходной системе уравнений и подставим значение угла $\alpha=30^\circ$ и коэффициента трения $\mu=\sqrt3$:

Из первого уравнения системы получаем:

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

откуда находим единственное решение системы:

Примечание к источнику: на странице23 сначала напечатано $N_1\leq N$, а далее анализируется строгое $N_1<N$; конечные интервалы сохранены как в оригинале.