Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 14. 11-Т4 · Конденсатор Глюка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Саранск, 2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный сборник: 83 страницы, 15 целых задач 9–11 классов и все напечатанные возможные решения и варианты. Архивное воспроизведение; исходные опечатки и несогласованности отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для построений используйте масштаб оригинального PDF.

Титул и авторы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Саранск, 2025 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-T1. Антон Вергунов
9-T2. Александр Ившин, Егор Васенин, Антон Вергунов
9-T3. Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4. Михаил Замятнин, Антон Вергунов
9-T5. Денис Рубцов
10-T1. Анна Шишкина
10-T2. Иван Юдин
10-T3. Александр Аполонский
10-T4. Алексей Заяц
10-T5. Александр Киреев, Леонид Колдунов
11-T1. Александр Аполонский
11-T2. Константин Соломатин
11-T3. Григорий Расторгуев
11-T4. Александр Аполонский
11-T5. Константин Соломатин

В источнике заголовок ключа — «Возможные решения». Пять исходных задач каждого из 9, 10 и 11 классов сохранены целыми; номер внутреннего маршрута p1–p15 дополнен исходным обозначением класса/задачи. Ненумерованный запрос 11-Т1 не разбит на искусственные подпункты.

Условие

В самом начале карьеры экспериментатор Глюк увлекался разработкой новых устройств. Одним из них был конденсатор довольно необычной конструкции. На двух поверхностях прямоугольной стеклянной пластинки толщиной $h=0{,}5\ \text{мм}$ было нанесено металлическое покрытие (П), игравшее роль обкладок конденсатора. При этом одна сторона пластинки была покрыта металлом полностью, вторая лишь частично (рис. 2). На свободный от покрытия участок помещалась маленькая капелька проводящей жидкости (К), полностью несмачивающей стекло. Подсоединённый к обкладке с жидкостью проводник раздваивался так, что одна его часть была подсоединена к участку с покрытием, второй конец был погружён в каплю жидкости.

Original capacitorFig2, bothP coatings, liquidK, bifurcated conductor, glass and complete terminals.

В одном из экспериментов конденсатор Глюка подключался последовательно с другим конденсатором постоянной ёмкости (опорным) к регулируемому источнику напряжения. Напряжение источника плавно увеличивалось от нулевого значения, при этом исследовалась зависимость напряжения на опорном конденсаторе $U_C$ от напряжения источника $U$ . График зависимости состоял из двух линейных участков (рис. 3), при этом напряжение на опорном конденсаторе в точке излома составляло треть от напряжения источника $U_1$ , соответствующего этой точке.

Complete native two-line voltage graphFig3, UC/U,U1/3/U1, origin and all dashed breakpoint guides.

Электрическая постоянная равна $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф}/\text{м}$ . Диэлектрическая проницаемость стекла $\varepsilon=7$ . Толщина стеклянной пластинки мала по сравнению с её размерами. Коэффициенты поверхностного натяжения жидкости на границе с воздухом и со стеклом одинаковы. Влиянием силы тяжести можно пренебречь.

1 Чему равнялось напряжение на опорном конденсаторе при напряжении источника $U=2U_1$ ?

2 Определите коэффициент поверхностного натяжения использованной Глюком жидкости, если $U_1=5{,}9\ \text{кВ}$ .

Решение

Покажем ниже, что при напряжениях источника меньших $U_1$ , капелька не растекается и конденсатор Глюка представляет собой обычный плоский конденсатор ёмкостью $C_1$ . Заметим, что вклад капельки в ёмкость отсутствует из-за того, что она по условию маленькая.

При напряжениях источника больших, чем $U_1$ конденсатор Глюка представляет собой два параллельно соединённых конденсатора ёмкостями $C_1$ и $C_2$ . Конденсатор $C_2$ имеет в качестве одной обкладки нижнюю плоскость, а его вторая обкладка — это растёкшаяся капелька проводящей жидкости. Обозначим площадь растёкшейся капельки $S$ , тогда:

C_2=\frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{h}.

Проанализируем, чему может быть равна площадь растёкшейся капельки в зависимости от постоянного напряжения источника $U$ , используя энергетический подход, и докажем сделанные выше утверждения. Напряжение источника можно считать постоянным, так как по условию оно изменяется плавно. Рассмотрим систему, состоящую из источника, конденсаторов и растёкшейся капельки. Найдём, как энергия системы зависит от площади растёкшейся капельки:

W=W_{\text{ист}}+W_{\text{конд}}+W_{\text{пов}}=-qU+\frac{q^2}{2C_0}+2\sigma S,

где $q$ — заряд, протёкший через источник, $C_0$ — общая ёмкость системы трёх конденсаторов, $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения.

Здесь энергия $W_{\text{ист}}=-qU=-C_0U^2$ , так как при зарядке конденсаторов через источник протекает заряд $q=C_0U$ и запасённая в источнике энергия уменьшается.

Общая ёмкость системы трёх конденсаторов, когда опорный $C$ соединён последовательно с конденсатором Глюка (который представляет собой параллельное соединение $C_1$ и $C_2$ ):

C_0=\frac{C(C_1+C_2)}{C+C_1+C_2}.

Для удобства будем выражать энергию поверхностного натяжения не через площадь, а через ёмкость $C_2$ :

W_{\text{пов}}=2\sigma S=\frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}C_2.

Тогда, зависимость энергии системы от ёмкости $C_2$ (по сути, от площади растёкшейся капли), описывается выражением:

W(C_2)=-\frac{C(C_1+C_2)U^2}{2(C+C_1+C_2)}+\frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}C_2.

В равновесии значение $C_2$ будет таким, чтобы энергия системы была минимальна. Найдём, при каком значении $C_2$ будет минимум, используя производную и приравнивая её нулю

W'=-\frac{C^2U^2}{2(C+C_1+C_2)^2}+\frac{2\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}=0.

Отсюда находим, что в случае расплюснутой капли, ёмкость образованного ею конденсатора $C_2$ зависит от напряжения источника $U$ как

C_2=CU\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{4\sigma h}}-C-C_1.

Так как вторая производная всегда положительна, найденная точка действительно минимум:

W''=\frac{C^2U^2}{(C+C_1+C_2)^3}>0.

Заметим, что значение $C_2$ (и площади $S$ ) больше либо равно нуля при

U\geq2\frac{C+C_1}{C}\sqrt{\frac{\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}}=U_1.

Поведение системы устроено следующим образом. При напряжениях источника от 0 до $U_1$ минимум энергии системы соответствует нулевой площади растёкшейся капельки, а конденсатор Глюка имеет постоянную ёмкость $C_1$ . При напряжениях источника $U>U_1$ , растёкшаяся капелька имеет площадь такую, что ёмкость $C_2$ можно вычислить по указанной выше формуле. Напряжение на конденсаторе Глюка постоянно:

U_{\text{Глюк}}=\frac{C_0U}{C_1+C_2}=\frac{CU}{C+C_1+C_2}=\sqrt{\frac{4\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}}=\frac23U_1=\mathrm{const}.

Напряжение на опорном конденсаторе при напряжении на источнике $U=2U_1$ равно

U_C=U-U_{\text{Глюк}}=2U_1-\frac23U_1=\frac43U_1.

Для определения коэффициента поверхностного натяжения воспользуемся найденным выше напряжением

U=2\sqrt{\frac{\sigma h}{\varepsilon\varepsilon_0}}=\frac23U_1.

Отсюда

\sigma=\frac{\varepsilon\varepsilon_0U_1^2}{9h}\approx0{,}479\ \text{Н}/\text{м}.

Очень похоже на то, что Глюк использовал ртуть!

Оригинал в Архива: Ru25-T.pdf · решение от архива: Ru25-T.pdf