ВсОШ 2025, Заключителен етап — Задача 15. 11-Т5 · Две половинки

Каждая из половинок линзы будет давать изображение, расстояние до которого можно найти по формуле тонкой линзы. Пусть $l$ — искомое, тогда из: $1/F=1/d+1/f$ и $l=d+f$ получим $l=d^2/(d-F)$.

Расстояния $l_1$ и $l_2$ от источника до его изображений в верхней и нижней половинках линзы равны:

При $L_1=3F$ и $L_2=6F$ пучки идут по разные стороны от ГОО, поэтому на экране возникнет равномерно освещённое изображение в виде двух полукругов разного радиуса, величина которых может быть получена из рассмотрения подобных треугольников. В обоих случаях радиус нижнего полукруга меньше, чем у верхнего: для $L_1=3F$ отношение радиусов равно

а при $L_2=6F$

На рисунке 2 полукруги показаны схематически.

При перемещении экрана от расстояния $2F$ вправо несложно заметить, что в некотором положении радиусы полукругов совпадут в промежутке от $2F$ до $l_2$. Искомое расстояние находим из пропорции, отражающей равенства двух коэффициентов подобия треугольников:

Искомое расстояние:

Если закрепить экран на расстоянии $L_4=40F/9$ от источника, то пучки света от полулинз точно накладываются друг на друга в верхней полуплоскости экрана.

Изображения источника $S$ в положениях $l_1$ и $l_2$ можно рассматривать как два когерентных вторичных источника $S_1$ и $S_2$, фазы которых в точке отрезка между ними на ГОО отличаются на $\pi$ из-за прохождения световой волны через фокус в $S_1$.

Следовательно, в центре полукруга наблюдается тёмное пятно (рисунок 3). При движении от центра картины к краю разность фаз источников будет изменяться, поэтому возникнет чередование светлых и тёмных полуколец.

Радиус полукруга можно найти из подобия треугольников:

Назовем вершину полукруга точкой A, а его центр — точкой O и рассмотрим сечение области пересечения световых лучей от половинок линзы плоскостью, проходящей через оптическую ось перпендикулярно разрезу (рисунок 4). Расстояния от изображений источника до центра картины равны $S_1O\equiv b=4F/9$ и $S_2O=2b=8F/9$.

Как уже отмечалось, в точке O разность фаз между лучами, пришедшими через нижнюю и верхнюю половину линзы, равна $\Delta\varphi_O=\pi$. Эта разность увеличивается на $2\pi$ при переходе к каждой следующей тёмной полосе.

Разность фаз между этими лучами на краю картины — в точке A — определяется разностью хода лучей: $\Delta\varphi_A=\pi+2\pi[S_1A-(S_1S_2-S_2A)]/\lambda$. С другой стороны она изменилась по сравнению с $\Delta\varphi_O$ на $2\pi k$, где $k$ — число светлых полос в картине, на каждой из которых происходит рост и убывание наблюдаемой освещенности. Ясно, что это и есть ответ на вопрос 5.

Значит, $k\lambda=S_1A+S_2A-S_1S_2=S_1A+S_2A-3b$.

По рисунку 4, применяя теорему Пифагора, выражаем расстояния:

Для данных по условию $b\gg r$ и с учетом формулы $(1+x)^\alpha=1+\alpha x$ находим: $3r^2\approx4kb\lambda$. Таким образом, искомое значение: $k=3r^2/(4b\lambda)\Longrightarrow k=D^2/(48\lambda F)$. Для заданных числовых значений получаем, что

Примечание. Отметим, что вычисление без приближения малости отклонения от оси дает $k\approx20{,}032$, то есть в принципе можно считать, что на краю картины есть еще один — правда, очень тонкий — интервал значений радиуса, на котором освещенность будет возрастать. Тогда ответом на вопрос 5 будет $k=21$. Такой ответ (при наличии соответствующего объяснения) тоже следует считать правильным. Хотя на практике «увидеть» эту полоску будет очень сложно.