ВсОШ 2025, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 7. 10-E1 · Крупа в шприце

Задача №10-E1. Крупа в шприце (видеоразбор)

Набираем в шприц воду, плотно присоединяем к нему трубку и наполняем трубку водой объёмом $V$ мл без воздушных промежутков. Измеряем длину участка, заполненного водой $L$. Тогда площадь внутреннего сечения будет $S=V/L$. Для увеличения точности измерение для одного и того же объёма воды $V=14$ мл проведём три раза, данные занесем в таблицу.

По результатам измерений вычисляем площадь поперечного сечения: $S=V/L=12{,}6$ мм².

Погрешность измерения длины складывается из случайной и систематической. Систематическая погрешность определяется как $\Delta L_{\text{сист}}=2$ мм при условии, что измерения проведены аккуратно (иначе надо добавить ещё около 3 мм, если трубка перед измерением не была тщательно выпрямлена). Случайная погрешность может быть найдена как среднее модулей отклонения отдельных измерений: $\Delta L_{\text{случ}}=\frac1n\sum_{i=1}^n|L_i-L_{\text{ср}}|=2$ мм. Итоговая абсолютная погрешность составляет:

Относительная погрешность длины: $\varepsilon_L=\frac{\Delta L}{L_{\text{ср}}}=0{,}003$ или 0,3%.

Погрешность измерения объёма определяется шкалой шприца и составляет половину цены деления: $\Delta V=0{,}5$ мл. Относительная погрешность $\varepsilon_V=\frac{\Delta V}{V}=0{,}036$ или 3,6%.

Площадь поперечного сечения равна отношению объёма и длины. Поскольку относительная погрешность объёма значительно больше, то по ней определяем искомую погрешность измерения: $\varepsilon_V=\varepsilon_S$. Тогда абсолютная прогрешность измеренного сечения: $\Delta S=\varepsilon_S\cdot S=0{,}5$ мм²

Штатив помещаем на край стола. Один конец мерной ленты зажимаем в лапке штатива, а другой приклеиваем скотчем к полу так, чтобы мерная лента была расположена вертикально. Ёмкость с водой ставим на пол, набираем воду в трубку без воздушных промежутков. При помощи канцелярского зажима крепим трубку к краю сосуда так, чтобы нижний конец трубки находился под поверхностью воды в течение всех измерений. Поршень пустого шприца выставляем на деление $V_0=20$ мл. Аккуратно погружая носик шприца на 1-2 мм в воду (вода не должна попасть внутрь шприца!), присоединяем к шприцу второй конец полностью заполненной водой трубки. Держим шприц только за верхнюю часть корпуса, чтобы воздух в нём не нагревался от контакта с рукой!

Поднимая шприц вверх вдоль мерной ленты, измеряем высоту столба жидкости в трубке $h$ и длину участка трубки с воздухом $l$. Поршень шприца был установлен на 20 мл, если он двинулся в сторону уменьшения объёма, принудительно возвращаем его на отметку 20 мл перед каждым измерением! Или держим шприц так, чтобы поршень не мог сдвигаться с места.

При стыковке носика шприца и трубки происходят небольшие изменения давления и объёма ($\Delta p$ и $\Delta V$), которые приводят к смещению начальных значений $p_{\text{атм}}$ и $V_0$. Поэтому точку (0, 0) не будем учитывать при исследовании полученной зависимости.

Температура воздуха внутри шприца не меняется:

Откуда получаем:

где $A\approx p_{\text{атм}}\Delta V/V_0+\Delta p$ — смещение начальной точки. Построим график $\rho gh(Y)$, где $Y=Sl/(V_0+Sl)$.

Из графика получаем: $p_{\text{атм}}\approx96$ кПа.

В шприц объёмом 20 мл насыпаем $V_{\text{насып}}=20$ мл крупы. Объём крупы $V_{\text{насып}}$ выбираем как можно больший для того, чтобы $V_{\text{возд}}$ был максимально большим для повышения точности измерений. Трясем и плотно прижимаем поршнем. Штатив помещаем на край стола. Один конец мерной ленты зажимаем в лапке штатива, а другой приклеиваем скотчем к полу так, чтобы мерная лента была расположена вертикально. Ёмкость с водой ставим на пол, набираем воду в трубку без воздушных промежутков. При помощи канцелярского зажима крепим трубку к краю сосуда так, чтобы нижний конец трубки находился под поверхностью воды в течение всех измерений. Аккуратно погружая носик шприца на 1-2 мм в воду (вода не должна попасть внутрь шприца!), присоединяем к шприцу второй конец полностью заполненной водой трубки. Держим шприц только за верхнюю часть корпуса, чтобы воздух в нём не нагревался от контакта с рукой!

Поднимая шприц вверх вдоль мерной ленты, измеряем высоту столба жидкости в трубке $h$ и длину участка трубки с воздухом $l$.

По тем же причинам, что и в предыдущем пункте, точку (0, 0) не будем учитывать при исследовании полученной зависимости.

Температура воздуха внутри шприца не меняется:

С учетом определения пустотности из условия $\alpha=V_{\text{возд}}/V_{\text{насып}}$, получаем:

Здесь $B\approx\frac{V_0\Delta p}{Sp_{\text{атм}}}+\frac{\Delta V}{S}$ — смещение начальной точки. Построим график $l(X)$, где $X=\rho ghV_{\text{насып}}/(S(p_{\text{атм}}-\rho gh))$.

Из графика получаем: $\alpha\approx0{,}49$.