Съдържание

ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 10. 9-Т2 · Другой уровень

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный60-страничный сборник:23целые задачи7–11классов,55номерованных запросов и6ненумерованных; все напечатанные возможные решения/варианты. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для измерений и построений используйте исходныйPDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Москва,2025г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

7-Т1. Александр Евсеев
7-Т2. Ольга Инишева
7-Т3. Константин Кутелев
7-Т4. Александр Евсеев
8-Т1. Андрей Сеитов
8-Т2. Александр Евсеев
8-Т3. Александр Евсеев
8-Т4. Ольга Инишева
9-Т1. Константин Кутелев
9-Т2. Антон Вергунов
9-Т3. Владимир Савинцев
9-Т4. Денис Рубцов
9-Т5. Матвей Муравьев, Иван Гурьянов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Александр Киреев
10-Т3. Леонид Колдунов
10-Т4. Анна Шишкина
10-Т5. Юрий Черников
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Александр Аполонский
11-Т3. Константин Парфенов
11-Т4. Алексей Заяц
11-Т5. Юрий Черников

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом уже функционируют кружки в более чем40регионах России.

В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы7,8,9,10и11классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

Тонкая трубка площадью поперечного сечения $S$ изогнута в виде перевёрнутой буквы П (см. рисунок). В горизонтальной части трубки находится невесомый поршень, который связан с левой стенкой пружиной. В вертикальных концах трубки в равновесии находятся две жидкости: в левой — жидкость плотностью $\rho_1$ , а в правой — жидкость плотностью $\rho_2<\rho_1$ .

Full native spring/piston inverted-U tube, rho1/rho2, Delta h and dashed level guide.

При этом разность уровней верхних границ жидкостей в вертикальных коленах составляет $\Delta h$ , а пружина находится в недеформированном состоянии. Коэффициент жёсткости $k$ пружины подобран таким образом, что при добавлении в левое колено жидкости плотностью $\rho_1$ разность уровней $\Delta h$ всё время оставалась постоянной.

Поршень скользит без трения. Жидкость между поршнем и стенками сосуда не подтекает и не выливается из сосуда. Объёмом пружины можно пренебречь, жидкости не смешиваются и не перетекают в другое вертикальное колено. Ускорение свободного падения равно $g$ .

1 Чему равен коэффициент жёсткости $k$ ?

2 В левую часть трубки добавляют объём $\Delta V$ жидкости плотностью $\rho_2$ , при этом верхние границы жидкостей в вертикальных частях оказываются на одном уровне. Определите, какой объём $\Delta V$ добавили в левое колено?

Решение

Так как оба конца трубки открыты в атмосферу, атмосферное давление можно не учитывать. Условие равновесия поршня в начальном положении:

\rho_1gh_1S=\rho_2gh_2S;

где $h_1$ и $h_2$ — высота столба жидкости выше центра поршня в левой и правой частях соответственно. При добавлении жидкости плотностью $\rho_1$ в левый сосуд поршень сместится на расстояние $x$ вправо, и на него начнёт действовать сила упругости. Условие равновесия поршня после добавления некоторого количества жидкости:

\rho_1gH_1S=\rho_2gH_2S+kx.

После перемещения поршня на расстояние $x$ , уровень жидкости в правой части тоже увеличится на $x$ :

\rho_1g(h_1+y)S=\rho_2g(h_2+x)S+kx.

Где $y$ — высота, на которую увеличился уровень жидкости в левом сосуде. Для того чтобы разность высот $\Delta h$ оставалась постоянной, $y$ должно равняться $x$ . Тогда:

k=(\rho_1-\rho_2)gS.

Условие равновесия поршня после добавления в левую часть объёма $\Delta V$ жидкости плотностью $\rho_2$ :

\rho_1g(h_1-x)S+\rho_2gzS=\rho_2g(h_2+x)S+kx.

Чтобы верхние границы жидкостей совпадали, высота $z$ добавленной в левое колено жидкости плотностью $\rho_2$ должна быть равна: $z=\Delta h+2x$ . Тогда, с учётом найденного коэффициента жёсткости пружины $k=(\rho_1-\rho_2)g$ :

x=\frac{\rho_2\Delta h}{2(\rho_1-\rho_2)}.

Убедимся, что при перемещении поршня на расстояние $x$ в левой вертикальной части трубки останется жидкость плотностью $\rho_1$ . Условие равновесия поршня в начальный момент:

\rho_1gh_1S=\rho_2g(h_1+\Delta h)S\Rightarrow h_1=\frac{\rho_2\Delta h}{\rho_1-\rho_2}\Rightarrow h_1>x.

Объём добавленной жидкости может быть найден по формуле: $\Delta V=S(\Delta h+2x)$ . Подставив в это выражение значение $x$ , найдём $\Delta V$ :

\Delta V=\frac{\rho_1\Delta hS}{\rho_1-\rho_2}.

Примечание к источнику: в строке перед выражением для $x$ на странице 38 напечатано $k=(\rho_1-\rho_2)g$ без $S$ ; отдельная формула выше содержит $S$ . Обе исходные записи сохранены.

Оригинал в Архива: Ru25-R-T.pdf · решение от архива: Ru25-R-T.pdf