Съдържание

ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 9. 9-Т1 · Импульсное ускорение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный60-страничный сборник:23целые задачи7–11классов,55номерованных запросов и6ненумерованных; все напечатанные возможные решения/варианты. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для измерений и построений используйте исходныйPDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Москва,2025г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

7-Т1. Александр Евсеев
7-Т2. Ольга Инишева
7-Т3. Константин Кутелев
7-Т4. Александр Евсеев
8-Т1. Андрей Сеитов
8-Т2. Александр Евсеев
8-Т3. Александр Евсеев
8-Т4. Ольга Инишева
9-Т1. Константин Кутелев
9-Т2. Антон Вергунов
9-Т3. Владимир Савинцев
9-Т4. Денис Рубцов
9-Т5. Матвей Муравьев, Иван Гурьянов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Александр Киреев
10-Т3. Леонид Колдунов
10-Т4. Анна Шишкина
10-Т5. Юрий Черников
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Александр Аполонский
11-Т3. Константин Парфенов
11-Т4. Алексей Заяц
11-Т5. Юрий Черников

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом уже функционируют кружки в более чем40регионах России.

В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы7,8,9,10и11классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

Частица двигалась в плоскости $Oxy$ в положительном направлении оси $x$ с постоянной скоростью, параллельной оси $x$ . В момент времени $t=0$ на неё начала действовать переменная сила, лежащая в плоскости $Oxy$ . Действие этой силы привело к возникновению ускорения, которое периодически изменяло своё направление. Модуль ускорения при $t=0$ был равен $a$ и через каждый промежуток времени $2\tau$ уменьшался в 2 раза. На рисунке представлены графики зависимости проекций ускорения частицы от времени за некоторый начальный интервал времени.

Both complete original ax/ay versus time graphs with all a/2tau/4tau/6tau/8tau labels, axes, grid and stepped lines.

Считая известными $a$ и $\tau$ , определите максимальную и минимальную (по модулю) скорости частицы, которая двигалась под действием этой силы в течение долгого времени. При этом скорость частицы отклонялась от первоначального направления движения на максимальный угол $\alpha$ .

Примечание: сумма бесконечной геометрической прогрессии $b+bq+bq^2+bq^3+\ldots=\sum_{i=0}^{\infty}bq^i=b/(1-q)$ , где $|q|<1$ .

Решение

Изобразим с помощью векторной диаграммы как изменялась скорость частицы.

Full native original vector-increment staircase, v0/v1/v2/v3, all atau/halving/fraction labels and dashed vectors.

Можно заметить, что скорость частицы монотонно возрастала со временем, значит минимальная по модулю скорость была в начале, а максимальная в конце движения (при очень большом времени). Перегруппируем векторы приращения скоростей

Full native regrouped infinite velocity-sum vector diagram, atau/halves/eighth,2atau,v0/vinfinity and arrows.

Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрессии, получим, что изменение проекции скорости на ось $x$ за длительное время (бесконечное количество циклов) будет $2a\tau$ . Аналогично изменится и $y$ компонента скорости. Значит максимальная скорость в процессе движения: $v_{max}=v_{\infty}=\sqrt{(v_0+2a\tau)^2+(2a\tau)^2}$ .

Выразим начальную скорость через $a\tau$ . Угол отклонения вектора скорости через время $\tau$ после начала движения: $\operatorname{tg}\alpha_1=(a\tau)/v_0$ . Через большое время после начала движения — $\operatorname{tg}\alpha_{\infty}=(2a\tau)/(v_0+2a\tau)$ . Тогда возможны два варианта:

если начальная скорость мала, тогда максимальное отклонение вектора скорости будет через $\tau$ после начала движения:

\operatorname{tg}\alpha_1\ge\operatorname{tg}\alpha_{\infty}\Rightarrow\alpha_1=\alpha.

Рассматриваемый случай реализуется при $v_0\le2a\tau$ . Тогда:

\operatorname{tg}\alpha=\frac{a\tau}{v_0}\Rightarrow v_{min}=v_0=a\tau\cdot\operatorname{ctg}\alpha;

v_{max}=v_{\infty}=\sqrt{(a\tau\cdot\operatorname{ctg}\alpha+2a\tau)^2+(2a\tau)^2}=a\tau\sqrt{\operatorname{ctg}^2\alpha+4\operatorname{ctg}\alpha+8}.

Full native small-initial-velocity staircase, alpha/v0/v1/vinfinity, all arrows and dashed lines.

Если $v_0\ge2a\tau$ , то максимальное отклонение вектора скорости будет в предельной ситуации $(\alpha_{\infty}=\alpha)$ .

\operatorname{tg}\alpha=\frac{2a\tau}{v_0+2a\tau}\Rightarrow v_{min}=v_0=2a\tau\cdot(\operatorname{ctg}\alpha-1);

v_{max}=v_{\infty}=\frac{2a\tau}{\sin\alpha}.

Full native large-initial-velocity diagram, both2atau dimensions, alpha/v0/vinfinity, staircase and dashed vector.

Оригинал в Архива: Ru25-R-T.pdf · решение от архива: Ru25-R-T.pdf