Съдържание

ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 8. 8-Т4 · Тепловые шарики

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный60-страничный сборник:23целые задачи7–11классов,55номерованных запросов и6ненумерованных; все напечатанные возможные решения/варианты. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для измерений и построений используйте исходныйPDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Москва,2025г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

7-Т1. Александр Евсеев
7-Т2. Ольга Инишева
7-Т3. Константин Кутелев
7-Т4. Александр Евсеев
8-Т1. Андрей Сеитов
8-Т2. Александр Евсеев
8-Т3. Александр Евсеев
8-Т4. Ольга Инишева
9-Т1. Константин Кутелев
9-Т2. Антон Вергунов
9-Т3. Владимир Савинцев
9-Т4. Денис Рубцов
9-Т5. Матвей Муравьев, Иван Гурьянов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Александр Киреев
10-Т3. Леонид Колдунов
10-Т4. Анна Шишкина
10-Т5. Юрий Черников
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Александр Аполонский
11-Т3. Константин Парфенов
11-Т4. Алексей Заяц
11-Т5. Юрий Черников

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом уже функционируют кружки в более чем40регионах России.

В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы7,8,9,10и11классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

В теплоизолированном сосуде находится $m_0=200$ г воды при температуре $t_0=20\,{}^{\circ}\text{C}$ . В воду опускают шарик с теплоёмкостью $C_{\text{ш}}=200$ Дж/°C с температурой $t_{\text{ш}}=98\,{}^{\circ}\text{C}$ . После установления теплового равновесия температура в сосуде оказывается равной $t_1=35\,{}^{\circ}\text{C}$ . Когда в сосуд, не вынимая первый шар, опустили второй точно такой же шарик с той же температурой $t_{\text{ш}}=98\,{}^{\circ}\text{C}$ , то температура в сосуде после установления теплового равновесия оказалась равной $t_2=47\,{}^{\circ}\text{C}$ .

Не вынимая двух первых шаров, в сосуд помещают ещё один точно такой же (начальная температура $t_{\text{ш}}=98\,{}^{\circ}\text{C}$ , теплоёмкость $C_{\text{ш}}=200$ Дж/°C). Считайте, что время опускания шарика в воду намного меньше времени установления теплового равновесия.

Удельная теплоёмкость воды равна $c_{\text{в}}=4200$ Дж/(кг·°C), удельная теплоёмкость материала шариков равна $c=500$ Дж/(кг·°C), плотность шариков $\rho_{\text{ш}}=7800$ кг/м³, плотность воды равна $\rho_0=1000$ кг/м³. Теплоёмкостью сосуда можете пренебречь.

Определите $t_3$ — температуру теплового равновесия в этом случае.

Решение

Определим массу шарика $m_{\text{ш}}$ и его объём $V_{\text{ш}}$ : $m_{\text{ш}}=C_{\text{ш}}/c=0{,}4$ кг; $V_{\text{ш}}=m_{\text{ш}}/\rho_{\text{ш}}\approx51$ мл.

Будем считать, что при опускании первого шарика вода не выливается из сосуда. Проверим это предположение. Для этого запишем уравнение теплового баланса для опускания первого шарика, считая, что вся вода остаётся в сосуде

c_{\text{в}}m_0(t_1-t_0)+C_{\text{ш}}(t_1-t_{\text{ш}})=0.

Выразим отсюда температуру

t_1=\frac{c_{\text{в}}m_0t_0+C_{\text{ш}}t_{\text{ш}}}{c_{\text{в}}m_0+C_{\text{ш}}}=35\,{}^{\circ}\text{C}.

Полученный результат означает, что вода при опускании первого шарика из сосуда не выливается.

Проверим, не выливается ли вода при опускании второго шарика. Запишем уравнение теплового баланса в этом предположении, обозначив предполагаемую температуру после установления теплового равновесия $t'_2$

c_{\text{в}}m_0(t'_2-t_1)+C_{\text{ш}}(t'_2-t_1)+C_{\text{ш}}(t'_2-t_{\text{ш}})=0.

Выразим отсюда предполагаемое значение температуры

t'_2=\frac{c_{\text{в}}m_0t_1+C_{\text{ш}}t_1+C_{\text{ш}}t_{\text{ш}}}{c_{\text{в}}m_0+2C_{\text{ш}}}=45{,}2\,{}^{\circ}\text{C}.

В условии задачи сказано, что после опускания второго шарика температура устанавливается $t_2=47\,{}^{\circ}\text{C}$ , следовательно, часть воды в этом случае выльется.

Определим массу вылившейся воды $\Delta m$ , для этого снова запишем уравнение теплового баланса

c_{\text{в}}(m_0-\Delta m)(t_2-t_1)+C_{\text{ш}}(t_2-t_1)+C_{\text{ш}}(t_2-t_{\text{ш}})=0,

m_0-\Delta m=\frac{C_{\text{ш}}(t_{\text{ш}}-t_2)-C_{\text{ш}}(t_2-t_1)}{c_{\text{в}}(t_2-t_1)}=155\ \text{г}.

Таким образом, при опускании второго шарика вылилось $\Delta m=45$ г воды.

При опускании третьего шарика выльется объём воды равный объёму шарика, что соответствует массе 51 г, поэтому нагреваться будет масса воды, равная $m'=155\,\text{г}-51\,\text{г}=104$ г. Запишем уравнение теплового баланса и выразим конечную температуру $t_3$

c_{\text{в}}m'(t_3-t_2)+2C_{\text{ш}}(t_3-t_2)+C_{\text{ш}}(t_3-t_{\text{ш}})=0,

t_3=\frac{c_{\text{в}}t_2m'+2C_{\text{ш}}t_2+C_{\text{ш}}t_1}{m'c_{\text{в}}+3C_{\text{ш}}}=57\,{}^{\circ}\text{C}.

Примечание к источнику: в последнем числителе на странице 36 напечатано $C_{\text{ш}}t_1$ , тогда как предшествующий баланс использует начальную температуру третьего шарика $t_{\text{ш}}$ . Формула и численный ответ исходного ключа сохранены.

Оригинал в Архива: Ru25-R-T.pdf · решение от архива: Ru25-R-T.pdf