ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 6. 8-Т2 · Выигрышные блоки

В идеальной системе блоки имеют пренебрежимо малую массу, для такой системы выигрыш в силе всегда будет одинаковым. Для весомых блоков этот выигрыш является предельным, максимальным, и почти достижимым при очень тяжёлых грузах, масса которых много больше масс блоков. Распределение сил натяжения нитей в идеальной системе представлено на рис. 1, условие равномерного подъема груза имеет вид

Отсюда выигрыш в силе для данной системы равен

В системе, дающей выигрыш в силе в $k=4$ раза блоки имеют массу, причем в условии не сказано, что блоки одинаковы, поэтому будем решать задачу с блоками различных масс. Введём массы блоков, обозначив их $m_1,m_2,m_3,m_4,m_5$ и $m_6$. Определим силы натяжения нитей в этом случае, записав условия равномерного поступательного движения блоков по вертикали.

Для блока $m_1$

Отсюда определим силу натяжения нити $T_1=2F-m_1g$. Для блока $m_4$

Отсюда определим силу натяжения нити $T_2=2T_1-m_4g=4F-2m_1g-m_4g$. Для блока $m_5$ уравнение будет таким же, так как по условию массы пятого и четвёртого блоков одинаковы. Для блока $m_6$

Отсюда определим силу натяжения нити

Условие равномерного подъёма груза $M$

Подставив $T_3$ и $T_1$ получим

По условию задачи $F=Mg/k$, где $k=4$. Тогда

Так как $k=4$, то

Рассмотрим равномерный подъём груза массой $M_1=3{,}5M$ и определим выигрыш в силе $k_1$. Обозначим силу, которую необходимо прикладывать к свободному концу верхней верёвки $F_1$. Условие равномерного подъёма этого груза можно записать так:

Из (6) получаем:

Из записанного выражения определим отношение $F_1/(M_1g)$ (обратное $k_1$)

Как видно, эта величина становится минимальной при очень больших массах груза, при $M_1\gg M$, и в этом случае отношение $F_1/(M_1g)$ минимально и равно $1/10$. Значит $k_{max}=10$, как это и было ясно из общего анализа в начале решения.

При рассмотрении подъема груза $M_1=3{,}5M$ можно получить, что сила $F_1$, необходимая для его равномерного подъёма, равна

Тогда выигрыш в силе рассчитывается так

Определим массу груза $M_0$, для которой не будет выигрыша в силе. В этом случае сила, необходимая для его равномерного подъёма, равна $F_0=M_0g$. Запишем условие равномерного подъёма груза с учетом (6) или (7)

или

Тогда масса груза, для которой не будет выигрыша в силе, равна

Примечание к источнику: в цепочке для $F_1/(M_1g)$ на странице 30 коэффициенты напечатаны без деления на 10; они не согласованы с уравнением (9). На странице 31 промежуточное выражение для $M_0$ не согласовано с двумя уравнениями (12) и итоговым $M/6$. Исходные формулы сохранены; отдельный диапазон масс в напечатанном ключе не сформулирован.