Съдържание

ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 5. 8-Т1 · Когда-то где-то

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный60-страничный сборник:23целые задачи7–11классов,55номерованных запросов и6ненумерованных; все напечатанные возможные решения/варианты. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для измерений и построений используйте исходныйPDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Москва,2025г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

7-Т1. Александр Евсеев
7-Т2. Ольга Инишева
7-Т3. Константин Кутелев
7-Т4. Александр Евсеев
8-Т1. Андрей Сеитов
8-Т2. Александр Евсеев
8-Т3. Александр Евсеев
8-Т4. Ольга Инишева
9-Т1. Константин Кутелев
9-Т2. Антон Вергунов
9-Т3. Владимир Савинцев
9-Т4. Денис Рубцов
9-Т5. Матвей Муравьев, Иван Гурьянов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Александр Киреев
10-Т3. Леонид Колдунов
10-Т4. Анна Шишкина
10-Т5. Юрий Черников
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Александр Аполонский
11-Т3. Константин Парфенов
11-Т4. Алексей Заяц
11-Т5. Юрий Черников

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом уже функционируют кружки в более чем40регионах России.

В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы7,8,9,10и11классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

Когда-то где-то по прямому шоссе двигался равномерно автомобиль. Координаты автомобиля и моменты времени определял спутник GPS: иногда с погрешностью, иногда — точно. Известно, что через 1,5 минуты от начала наблюдения его координата была равна $(647{,}5\pm0{,}5)$ км, а через 3,5 минуты — $(649{,}5\pm0{,}5)$ км. Ещё известно, что в точке с координатой 648 км автомобиль был через $(2{,}25\pm0{,}25)$ минуты от начала наблюдения, а в точке с координатой 651 км через $(4{,}75\pm0{,}25)$ минуты. Определите:

1 максимально возможную и минимально возможную скорости автомобиля;

2 путь автомобиля за 3 минуты;

3 положение автомобиля через 3 минуты 15 с от начала наблюдения.

Решение

Отметим интервалы из условия задачи на координатной плоскости $x(t)$ . Т.к. движение автомобиля равномерное, зависимость его координаты от времени — это линейная функция, графиком которой является прямая. Построим две прямые, пересекающие все интервалы с максимально возможным угловым коэффициентом (пунктирная линия) и минимально возможным угловым коэффициентом (сплошная линия).

Угловыми коэффициентами прямых являются скорости движения автомобиля:

v=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}.

Full native GPS max/min graph, all coordinate intervals/grid/time/distance units/ticks and solid/dashed lines.

Определим интервал возможных скоростей:

v_{max}=\frac{650\ \text{км}-647\ \text{км}}{2{,}25\ \text{мин}}=80\ \text{км/ч},\qquad v_{min}=\frac{650\ \text{км}-648\ \text{км}}{2\ \text{мин}}=60\ \text{км/ч}.

Возможно аналитическое нахождение предельно возможных скоростей, но оно громоздко и здесь не приводится.

Путь автомобиля определяем по формуле $l=vt$ .

l_{max}=80\ \text{км/ч}\cdot\frac3{60}\ \text{ч}=4\ \text{км},\qquad l_{min}=60\ \text{км/ч}\cdot\frac3{60}\ \text{ч}=3\ \text{км}.

Ответ можно записать несколькими способами. Например:

3\ \text{км}\le l\le4\ \text{км},\qquad l\in[3\ \text{км};4\ \text{км}],\qquad l=(3{,}50{,}5)\ \text{км}.

Ответ на последний вопрос тоже можно получить двумя способами. Рассмотрим графическое решение. Построим две прямые, проходящие через все интервалы и ограничивающие максимально длинный отрезок координат в момент времени 3,25 минуты от начала наблюдения.

Full native GPS position graph with original blue coordinate segment and complete interval guides/solid/dashed lines.

Видим, что верхняя точка необходимого нам отрезка, лежащая на пунктирной прямой, является серединой отрезка с координатами (2 мин; 648 км) и (4,5 мин; 651 км). Значит её координаты (3,25 мин; 649,5 км). Аналогично, нижняя точка необходимого нам отрезка, лежащая на сплошной прямой, является серединой отрезка с координатами (1,5 мин; 647 км) и (5 мин; 65 км). Значит её координата (3,25 мин; 649 км). Тогда координата автомобиля в момент 3,25 минуты:

649\ \text{км}\le x\le649{,}5\ \text{км},\qquad x\in[649\ \text{км};649{,}5\ \text{км}],\qquad x=(649{,}25\pm0{,}25)\ \text{км}.

Рассмотрим пример аналитического решения. По двум точкам можно получить уравнения прямых, ограничивающих отрезок координат автомобиля в указанный момент времени:

x_{\text{пунк}}=645{,}6+1{,}2t,\qquad x_{\text{сплош}}=\frac{4517}7+\frac87t.

Величины в уравнениях записаны в км и мин. Подставляя в уравнения момент времени 3,25 мин, получаем границы интервала координат: 649,5 км и 649 км.

Примечание к источнику: на странице 27 последняя форма ответа для пути напечатана без видимого знака между $3{,}5$ и $0{,}5$ . На странице 28 напечатано «65 км» для второй конечной точки; рядом и в условии указано 651 км. Эти исходные записи сохранены.

Оригинал в Архива: Ru25-R-T.pdf · решение от архива: Ru25-R-T.pdf