Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 17. 10 класс. 4. Треугольники

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

В электрической схеме, изображенной на рисунке, известны два сопротивления резисторов ( $R_1 = 6$ Ом и $R_3 = 12$ МОм) и некоторые значения эквивалентных сопротивлений между двумя контактами ( $R_{\text{АД}} = 8$ Ом, $R_{\text{БД}} = 9$ Ом, $R_{\text{ГД}} = 5$ МОм, $R_{\text{ВГ}} = 9$ МОм). Определите значения сопротивлений $R_2, R_4, R_5, R_6, R_{\text{АБ}}, R_{\text{БВ}}$ . Достаточно получить численные ответы.

Схема с узлами А, Б, В, Г, Д: резистор R1 между А и Б, R4 между А и Д (треугольник А–Б–Д замыкает R2 между Б и Д); R3 между Б и В, R6 между В и Г, R5 между Д и Г.

Отговори

Решение

4. Треугольники (Рубцов Д.)

Возможное решение

Из правила параллельного соединения резисторов, $R_6 > R_{\text{ВГ}}$ и $R_5 > R_{\text{ГД}}$ , то есть резисторы $R_6, R_5, R_3$ имеют сопротивления порядка нескольких мегаом. Это значительно больше, чем сопротивление резистора $R_1 = 6\ \text{Ом}$ . То есть относительно $R_1$ резисторы $R_6, R_5, R_3$ имеют почти бесконечное сопротивление и их можно рассматривать как разрыв цепи.

Предположим, что $R_2 \gg R_1$ . Тогда $R_{\text{БД}} = R_1 + R_4$ и $R_4 = R_{\text{БД}} - R_1 = 3\ \text{Ом}$ . Тогда $R_{\text{АД}} = \frac{R_1R_4}{R_1 + R_4} = 2\ \text{Ом}\ \neq 8\ \text{Ом}$ . Получили противоречие. Аналогично можно доказать, что предположение $R_4 \gg R_1$ неверно. То есть сопротивления $R_1, R_2, R_4$ сравнимы и составляют порядка нескольких ом.

Рассмотрим треугольник АБД (решаем в Омах):

\frac{1}{R_{\text{АД}}} = \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_1 + R_2} \leftrightarrow \frac{1}{8} = \frac{1}{R_4} + \frac{1}{6 + R_2}

\frac{1}{R_{\text{БД}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1 + R_4} \leftrightarrow \frac{1}{9} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{6 + R_4}

Подбором (или честным решением системы уравнений) найдем:

R_2 = 18\ \text{Ом}

R_4 = 12\ \text{Ом}

Тогда $R_{\text{АБ}} = \frac{(R_2 + R_4)R_1}{R_1 + R_2 + R_4} = 5\ \text{Ом}$ .

Сопротивления $R_1, R_2, R_4$ гораздо меньше, чем сопротивления $R_6, R_5, R_3$ , так что будем считать их перемычками. Тогда $R_6, R_5, R_3$ также образуют треугольник В(Б-Д)Г. Нетрудно видеть, что треугольник В(Б-Д)Г отличается от треугольника АБД лишь кратностью сопротивлений в миллион раз. Тогда

R_5 = 6\ \text{МОМ}, R_6 = 18\ \text{МОМ}, R_{\text{БВ}} = 8\ \text{МОМ}

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Доказано, что резисторы $R_6, R_5, R_3$ имеют сопротивления порядка нескольких мегаом	1
2	Доказано, что сопротивления $R_1, R_2, R_4$ имеют сопротивления порядка нескольких Ом	2
3	Записана система уравнений для нахождения сопротивлений в каждом из треугольников (либо в одном треугольнике, но замечена аналогия двух треугольников)	3
4	Найдены $R_2, R_4, R_5, R_6$	4 (по 0.5 балла)
5	Найдены $R_{\text{АБ}}, R_{\text{БВ}}$	2 (по 1 баллу)

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf