Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 16. 10 класс. 3. Горе от ума

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

Два длинных стержня жестко соединены концами под прямым углом. На каждый стержень надето по одному кольцу, которые могут свободно перемещаться вдоль стержней. К кольцам прикреплена пружина жёсткостью $k = 10$ Н/м, соединяющая кольца между собой. В момент $t = 0$ кольца находятся в точке соединения стержней; затем их начинают двигать вдоль стержней в противоположные стороны с постоянными скоростями $v_1$ и $v_2$ . Известно, что модули скоростей относятся как $v_1 : v_2 = 3 : 4$ .

Через $t_1 = 6$ с после начала движения модуль силы упругости пружины равен $F_1 = 30$ Н, а через $t_2 = 14$ с модуль силы упругости равен $F_2 = 10$ Н.

Найдите:

1. длину $l_0$ пружины в недеформированном состоянии;

2. скорость $v_1$ ;

3. скорость $v_2$ .

Отговори

Решение

Горе от ума (Сушков З.)

Возможное решение

Пусть одно кольцо движется по одному стержню со скоростью $v_1 = 3v$ , а второе — по другому стержню со скоростью $v_2 = 4v$ . За время $\tau$ первое кольцо смещается на расстояние $y = v_1\tau = 3v\tau$ , а второе — на расстояние $x = v_2\tau = 4v\tau$ .

Так как стержни расположены перпендикулярно, расстояние между кольцами, то есть длина пружины, определяется по теореме Пифагора:

l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(3v\tau)^2 + (4v\tau)^2} = 5v\tau.

По закону Гука сила упругости равна

F = k\,\Delta l,

где $\Delta l = l - l_0$ — изменение длины пружины относительно её недеформированного состояния.

Так как из условия используются модули силы, запишем:

|\,F(\tau)\,| = k\ |\,l - l_0\,| = k\ |\,5v\tau - l_0\,|.

Эта функция является кусочно-линейной:

|F(\tau)| = \begin{cases} k(l_0 - 5v\tau), & l < l_0 \\ k(5v\tau - l), & l > l_0 \end{cases}

Рассмотрим точки, заданные по условию задачи:

(\tau_1 = 6\ c,\ F_1 = 30\ \text{Н}), (\tau_2 = 14\ c,\ F_2 = 10\ \text{Н}

Из вида функции видно, что возможно два случая:

обе точки принадлежат левому линейному участку;
точки лежат на разных линейных участках.

Рассмотрим эти варианты.

$|\,F\,| = k(l_0 - 5v\tau)$

Угловой коэффициент прямой на графике равен:

k_{\text{угл}} = \frac{10 - 30}{14 - 6} = -\frac{20}{8} = -2{,}5\ \text{Н/с}.

Сравнивая с наклоном теоретической зависимости:

k_{\text{угл}} = -5kv,

получаем $v = 0.05\ \text{м/с}$ .

Тогда скорости колец:

v_1 = 3v = 0.15\,\frac{\text{м}}{\text{с}}

$v_2 = 4v = 0.20\,\frac{\text{м}}{\text{с}}$

Момент, когда пружина была недеформирована, определяется из условия

5v\tau = l_0

Подставим момент пересечения графика с осью ( $|F|$ =0), который для данной прямой равен $\tau$ = 18 с:

l_0 = 5v\tau = 5\cdot 0.05\cdot 18 = 4.5\ \text{м}.

Аналогично рассматривая второй случай, получим:

v = \frac{0.10\ \text{м}}{\text{с}},\ v_1 = \frac{0.30\ \text{м}}{\text{с}},\ v_2 = \frac{0.40\ \text{м}}{\text{с}},\ l_0 = 6\ \text{м}.

График для первого случая:

График для второго случая:

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Получена зависимость $l = 5v\tau$	1
2	Записан закон Гука	1
3	Получена формула $F = k\lvert 5v\tau - l_0\rvert$	1
4	Рассмотрено 2 случая момента отсутствия деформации у пружины	1
5	Верная формула для $v_1$ и $v_2$	1
6	Верная формула для $l_0$	1
7	Получено верное значение $v_1$ и $v_2$ для двух случаев	2
8	Получено верное значение $l_0$ для обоих случаев	2

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf