Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 15. 10 класс. 2. Три бруска

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

Опора из трёх участков: слева наклонная плоскость под углом α к горизонту, в середине горизонтальный участок, справа вертикальная стенка. На наклонной плоскости брусок M, на горизонтальном участке брусок 2m, у вертикальной стенки висит брусок m. Бруски связаны нитями через блоки на вершине наклона и на правом краю горизонтального участка; слева стрелка g вниз.

Система, представленная на рисунке, состоит из трёх брусков массами $m = 1$ кг, $2m$ и $M$ , связанных лёгкими нерастяжимыми нитями, перекинутыми через неподвижные лёгкие блоки. Известно, что нити натянуты и брусок массой $2m$ движется влево с ускорением $a_1 = 2{,}5\ \text{м/с}^2$ . Поверхность, вдоль которой движутся бруски, гладкая и состоит из трёх участков – вертикального, горизонтального и участка, наклонённого к горизонту под углом $\alpha$ . Трением в оси блоков, можно пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 10\ \text{м/с}^2$ .

Определите:

1) силу натяжения $T_1$ правой нити;

2) силу натяжения $T_2$ левой нити.

Если бруски массами $M$ и $m$ поменять местами, то брусок массой $2m$ будет двигаться вправо с ускорением $a_2 = 6{,}5\ \text{м/с}^2$ .

Найдите:

3) массу бруска $M$ ;

4) угол $\alpha$ .

Отговори

Решение

2. Три бруска (Киреев А.)

Возможное решение

С учётом того, что нити и блоки лёгкие, сила натяжений вдоль них будет постоянна. А так как нити нерастяжимы, то при движении модули ускорений брусков будут одинаковы.

Силы, действующие на бруски в исходной системе: на брусок M на наклонной плоскости (угол α) — Mg, N_M, T_2; на брусок 2m на горизонтальном участке — 2mg, N_2m, T_2 влево и T_1 вправо; на висящий брусок m — T_1 вверх и mg вниз.

Расставим силы, действующие на бруски (см. рисунок). Согласно второму закону Ньютона для каждого из них:

\begin{cases} Mg\sin\alpha - T_2 = Ma_1; & (1) \\ T_2 - T_1 = 2ma_1; & (2) \\ T_1 - mg = ma_1. & (3) \end{cases}

Откуда находим $T_1 = m(g + a_1) = 12{,}5$ Н и $T_2 = m(g + 3a_1) = 17{,}5$ Н.

Рассмотрим случай, когда бруски массами $M$ и $m$ поменяли местами. Расставим силы на бруски (см. рисунок). Согласно второму закону Ньютона для каждого из них:

\begin{cases} T_2' - mg\sin\alpha = ma_2; & (4) \\ T_1' - T_2' = 2ma_2; & (5) \\ Mg - T_1' = Ma_2. & (6) \end{cases}

Силы, действующие на бруски после перестановки: на брусок m на наклонной плоскости (угол α) — mg, N_m, T'_2; на брусок 2m — 2mg, N_2m, T'_2 влево и T'_1 вправо; на висящий брусок M — T'_1 вверх и Mg вниз.

Сложим уравнения (1), (2) и (3):

Mg\sin\alpha - mg = (M + 3m)a_1 \qquad (7)

Сложим уравнения (4), (5) и (6):

Mg - mg\sin\alpha = (M + 3m)a_2 \qquad (8)

Из уравнений (7) и (8) приходим к квадратному уравнению относительно $\sin\alpha$ : $g\sin^2\alpha + (3a_2 - a_1)\sin\alpha + (a_2 - 3a_1 - g) = 0$ или $10\sin^2\alpha + 17\sin\alpha - 11 = 0$ . Данное уравнение имеет корни 0,5 и 2,2. Подходит только корень $\sin\alpha = 0{,}5$ или $\alpha = 30^{\circ}$ .

Аналогично из уравнений (7) и (8) можно получить квадратное уравнение относительно $M$ : $(g - a_2)M^2 - (3a_2 + a_1)mM - (3a_1 + g)m^2 = 0$ или $7M^2 - 44mM - 35m^2 = 0$ . Данное уравнение имеет корни $7m$ и $-5m/7$ , из которых подходит только $M = 7m = 7$ кг.

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Записано соотношение $Mg\sin\alpha - T_2 = Ma_1$ или эквивалентное	1
2	Записано соотношение $T_2 - T_1 = 2ma_1$ или эквивалентное	0,5
3	Записано соотношение $T_1 - mg = ma_1$ или эквивалентное	0,5
4	Записано соотношение $T_2' - mg\sin\alpha = ma_2$ или эквивалентное	1
5	Записано соотношение $T_1' - T_2' = 2ma_2$ или эквивалентное	0,5
6	Записано соотношение $Mg - T_1' = Ma_2$ или эквивалентное	0,5
7	Получен ответ $T_1 = 12{,}5$ Н	1
8	Получен ответ $T_2 = 17{,}5$ Н	1
9	Получено квадратное уравнение относительно $\sin\alpha$ или $M$	1
10	Выбран правильный корень полученного квадратного уравнения	1
11	Получен ответ $M = 7$ кг	1
12	Получен ответ $\alpha = 30\ {}^{\circ}$	1

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf