Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 14. 10 класс. 1. На речке

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

От пристани $A$ , находящейся на одном берегу прямой реки шириной $h = 600$ м, отправляется моторная лодка. Лодка относительно воды идёт с постоянной скоростью $u = 5$ м/с и выдерживает курс, строго перпендикулярный берегу. На противоположном берегу прямо напротив пристани $A$ расположена пристань $B$ . Скорость течения реки постоянна, направлена вдоль берега и равна $v = 2{,}5$ м/с. Одновременно из пункта $B$ вдоль берега, против течения, отправляется катер. Катер движется с постоянной скоростью $w = 5$ м/с относительно берега.

1. Найдите, под каким углом $\alpha$ к линии $AB$ в действительности движется моторная лодка.

2. Чему равно минимальное расстояние $L_{\min}$ между катером и лодкой?

3. Определите, через какое время $t$ после начала движения катер и лодка окажутся на минимальном расстоянии друг от друга.

Отговори

Решение

1. На речке (Еськин М.)

Возможное решение

Лодка движется вдоль вектора результирующей скорости самой лодки и скорости воды в реке. Поэтому угол $\alpha$ можем определить из треугольника скоростей как:

\mathrm{tg}\,\alpha = v/u. \qquad (1)

Откуда угол α = arctg 0.5 = 26, 6°

Метод 1

Для определения минимального расстояния перейдем в систему отсчета катера. Тогда катер в данной системе отсчета покоится, а лодка движется равномерно и прямолинейно. Минимальное расстояния между ними будет достигаться в момент, когда прямая соединяющая катер и лодку будет перпендикулярна прямой, вдоль которой движется лодка. Получается прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна $h$ , катет равен $L_{\min}$ , а угол противолежащий этому катете назовем $\beta$ . Угол $\beta$ определяется аналогично первому пункту, только в этот раз появится дополнительное слагаемое скорость катера:

\mathrm{tg}\,\beta = \frac{v + w}{u}, \quad (2)

а минимальную длину найдем из прямоугольного треугольника:

\sin\beta = L_{min}/h

откуда получается ответ:

L_{min} = h\sin\left(\mathrm{arctg}\left(\frac{v + w}{u}\right)\right) = 499\ \text{м}

Метод 2

Альтернативный способ решения этого пункта через координаты:

расстояние по оси $x$ и $y$ между катером и лодкой:

x = (v + w)t

y = h - ut

Тогда расстояние $L$ между лодкой и катером по теореме Пифагора:

L^2 = x^2 + y^2 = (v + w)^2t^2 + (h - ut)^2

Это квадратное уравнение относительно времени. Минимум $L$ достигается когда дискриминант равен нулю.

((v + w)^2 + u^2)t^2 - 2hut + h^2 - L^2 = 0

D = 4(hu)^2 - 4((v + w)^2 + u^2)(h^2 - L^2) = 0

L = h\sqrt{1 - \frac{u^2}{(v + w)^2 + u^2}} = 499\ \text{м}.

Метод 1

Для определения времени при решении методом 1 предыдущего пункта достаточно найти перемещение $s$ лодки в системе отсчета катера и разделить его на относительную скорость:

s = h\cos\beta

t = \frac{hu}{(v + w)^2 + u^2} = 36{,}9\ \text{с}

Метод 2

Для поиска времени достаточно найти решение квадратного уравнения при дискриминанте равном нулю:

t = \frac{hu}{(v + w)^2 + u^2} = 36{,}9\ \text{с}

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1.	Идея векторного сложения скоростей	1
2	Формула тангенса угла	1
3	Определен угол $\alpha$	1
4.1	М1: Идея пересадки в СО катера	1
5.1	М1: Записано tg $\beta$	1
6.1	М1: Записано $L_{\min} = h\sin\beta$	1
7.1	М1: Получен ответ $L_{\min}$ = 499 м	1
4.2	М2: Записаны координаты $x(t)$ , $y(t)$	1
5.2	М2: Получено квадратное уравнение относительно $t$	1
6.2	М2: Сделано утверждение о минимуме $L$ при $D = 0$	1
7.2	М2: Получен ответ $L_{\min}$ = 499 м	1
8.1	М1: Пройденный путь до точки максимального сближения $s = h\cos\beta$	1
9.1	М1: Скорость в СО катера $v_{\text{отн}}$	1
10.1	М1: Ответ $t$ = 36,9 с	1
8.2	М2: Получено выражение для $t$	2
9.2	М2: Численный ответ $t$ = 36,9 с	1

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

В рамках ответа на один вопрос можно оценивать только по одному методу (либо М1 (метод 1), либо М2 (метод 2)).

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf