Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. 10-E1 · Тёмное пятно

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — заключительный этап, экспериментальный тур

Обложка

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Экспериментальный тур

Новый Уренгой, 2026 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

Экспериментальный тур

9 класс

9-E1. Сергей Кармазин
9-E2. Александр Аполонский, Ярослав Агеев

10-11 класс

10-E1. Алексей Заяц
11-E1. Юрий Черников

Условие

Оборудование: лазерная указка (крепится к штативу с помощью прищепки); цилиндрический сосуд № 1 с прямоугольной пластиной; цилиндрический сосуд № 2 с круглой пластиной внутри; пластиковая линейка с длиной шкалы 8 см; стакан с неизвестной жидкостью; стакан с водой; шприц объёмом 22 мл; ламинированный шаблон, на который нанесена шкала; миллиметровая бумага для построения графика (3 листа); салфетки для поддержания чистоты.

Неизвестную жидкость не пить!
При случайном попадании небольшого количества жидкости в рот прополощите его большим количеством воды.
При контакте с кожей неизвестная жидкость опасности не представляет.
Не светить лазером в глаза себе и окружающим!

1.1. Возьмите сосуд № 1. Если на дно сосуда налить слой жидкости и посветить на него сверху лазером, можно увидеть следующую картину (см. фото 1).

Оригинальная фотография тёмного пятна в сосуде №1 с зелёным лучом лазера.

Предложите теоретическую модель образования тёмного пятна и выведите теоретическую зависимость диаметра $D$ пятна от толщины слоя $h$ жидкости и показателя преломления $n_\text{ж}$ жидкости. При выводе считайте, что дно сосуда плоское и горизонтальное.

1.2. Наливая в сосуд № 1 воду, экспериментально исследуйте зависимость диаметра $D$ тёмного пятна от объёма $V$ воды в сосуде. Снимите не менее 7 точек в диапазоне $V\geq50$ мл.

1.3. Повторите эксперимент, описанный в предыдущем пункте, взяв вместо воды неизвестную жидкость (НЖ). Снимите не менее 7 точек в диапазоне $V\geq50$ мл.

1.4. Постройте в общей системе координат графики полученных в пп. 1.2 и 1.3 зависимостей. С помощью графиков определите показатель преломления $n_\text{нж}$ неизвестной жидкости. Оцените погрешность полученного значения. Здесь и далее показатель преломления воды примите равным $n_\text{в}=1{,}334\pm0{,}001$ .

2.1. Возьмите сосуд № 2. Если посветить лазером на пластину, можно увидеть картину, аналогичную фото 1. Измерьте диаметр $D_0$ тёмного пятна в данном случае.

В задании 2.1 жидкость внутрь сосуда наливать не нужно!

2.2. Если пластина покрыта слоем жидкости, то картина меняется (см. фото 2). Предложите теоретическую модель и выведите теоретическую зависимость диаметра $D$ тёмного пятна от толщины $d$ пластины, высоты $h$ слоя жидкости относительно пластины и показателей преломления материала пластины $n_\text{пл}$ и жидкости $n_\text{ж}$ . При выводе зависимости считайте, что $n_\text{пл}>n_\text{ж}$ .

Оригинальная фотография пятна и светлых колец в сосуде №2.

2.3. Наливая воду в сосуд № 2, экспериментально исследуйте зависимость диаметра $D$ тёмного пятна от объёма $V$ воды. Снимите не менее 10 точек в диапазоне $V\geq80$ мл.

2.4. Постройте график зависимости диаметра $D$ тёмного пятна, образующегося в пластине (см. пп. 2.1 и 2.3), от объёма $V$ налитой воды в диапазоне $0\leq V\leq200$ мл.

2.5. При наличии у графика особых точек (изломов, максимумов, минимумов и т.п.), укажите их координаты.

2.6. С помощью графика, построенного в п. 2.4, определите: а) показатель преломления материала пластины; б) толщину пластины. Оцените погрешности полученных значений.

3.1. Возьмите ламинированный шаблон и аккуратно налейте на его поверхность слой воды. Следите за тем, чтобы вода не достигала границы шаблона! Посветите на получившийся слой воды лазером. Измерьте диаметр $D_\text{к}$ получившегося тёмного пятна. Используя формулу из п. 1.1, вычислите толщину $h$ слоя воды. Оцените погрешность полученного значения.

3.2. Вычислите краевой угол $\theta$ (угол смачивания) поверхности шаблона водой, ответ приведите в угловых градусах. Оцените погрешность полученного значения. При вычислениях считайте, что

коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma=(72\pm1)$ мН/м;
плотность воды $\rho_\text{в}=(997\pm2)$ кг/м³;
ускорение свободного падения $g=(9{,}81\pm0{,}02)$ м/с².

Официальные чертежи оборудования и шаблон. Пять исходных PDF-приложений опубликованы в материалах задачи «Тёмное пятно». Это чертежи прямоугольной полистирольной пластины, полистирольного диска, акрилового диска, подготовки линейки и полный шаблон шкалы для ламинирования. Размеры и подписи сохранены в исходных изображениях. Приложения дополняют условия, а не заменяют напечатанные величины: в условии указан шприц 22 мл и шкала линейки 8 см; страница подготовки указывает шприц 20 мл, а чертёж — отрезки линейки длиной 8,5 см.

Оригинальный полный чертёж полистирольной пластины Ru26-10-E1.1: размеры, углы R2, углубление диаметром8мм/глубиной2мм и полный титульный блок. — Приложение 1

Оригинальный полный чертёж полистирольного диска Ru26-10-E1.2 диаметром100мм, толщиной2мм и отверстием8мм, с полным титульным блоком. — Приложение 2

Оригинальный полный чертёж акрилового диска Ru26-10-E1.3 диаметром100мм, толщиной10мм, с полным титульным блоком. — Приложение 3

Оригинальный полный чертёж Ru26-10-E1.4 подготовки прозрачной линейки15см: все деления, линии реза8.5см, указания и полный титульный блок. — Приложение 4

Полный оригинальный шаблон ламинируемой шкалы: весь замкнутый внешний контур, центральный ноль, симметричные деления1–8 и миллиметровые штрихи. — Приложение 5

Решение

Задача №10-E1. Тёмное пятно

Поверхность дна сосуда является матовой, поэтому луч лазера, попадающий на неё, рассеивается во все стороны. Лучи, попадающие изнутри на границу жидкости и воздуха под углами, превышающими предельный угол $\alpha_\text{кр}$ , отражаются обратно и снова попадают на матовую поверхность дна сосуда, подсвечивая её. В свою очередь, лучи, попадающие на границу жидкость-воздух под углами, меньшими $\alpha_\text{кр}$ , преломляются и выходят из жидкости. Справедливости ради стоит отметить, что и для углов падения, меньших $\alpha_\text{кр}$ , небольшая часть света отражается обратно, поэтому тёмный круг на дне сосуда несколько подсвечен (см. фото 1 из условия) и не является полностью чёрным.

Найдём диаметр тёмного пятна, для чего построим луч, который после рассеяния света от лазера на дне сосуда падает на границу жидкость-воздух под углом $\alpha_\text{кр}$ (см. рис. 1). Из треугольников, показанных на рисунке, следует, что

\frac{D}{2}=2\cdot h\tan\alpha_\text{кр}.

Поскольку предельный угол, при котором на границе жидкости с воздухом происходит полное внутреннее отражение, определяется формулой $\sin\alpha_\text{кр}=1/n_\text{ж}$ , выражение для диаметра тёмного пятна будет иметь вид

D=\frac{4h}{\sqrt{n_\text{ж}^2-1}}.

Полная исходная схема лучей в первом сосуде: лазер, жидкость, матовое дно, h,D и все углы αкр.

Поместим в сосуд линейку и, включив лазер, начнём с помощью шприца наливать внутрь воду. Занесём в таблицу результаты измерений.

$V$ , мл	50	65	80	95	110	125	140
$D$ , мм	24	33	42	50	59	68	77

Выльем воду и вытрем дно сосуда и линейку салфеткой. Повторим описанный выше эксперимент с неизвестной жидкостью.

$V$ , мм	50	65	80	95	110	125	140
$D$ , мм	22	30	39	47	55	64	72

На дне сосуда № 1 есть плоская площадка, поэтому теоретическая зависимость диаметра пятна $D$ от объёма жидкости $V$ должна иметь вид линейной функции

D(V)=\frac{4(V-V_0)}{S\sqrt{n_\text{ж}^2-1}},

где $S$ — площадь дна сосуда, $V_0$ — константа, связанная с объёмом пустого места вокруг площадки и объёмом линейки. Отметим на координатной плоскости точки, полученные в пп. 1.2 и 1.3, и для каждой серии точек проведём аппроксимирующую прямую (рис. 2). Поскольку значение $S$ неизвестно, будем искать отношение угловых коэффициентов построенных прямых

\gamma=\frac{k_\text{в}}{k_\text{нж}}=\frac{77{,}0-24{,}0}{72{,}0-22{,}0}=1{,}06.

С другой стороны,

\gamma=\sqrt{\frac{n_\text{нж}^2-1}{n_\text{в}^2-1}}\quad\Rightarrow\quad n_\text{нж}=\sqrt{1+\gamma^2(n_\text{в}^2-1)}=1{,}37.

Полный исходный график D(V) для воды и НЖ: экспериментальные точки, погрешности, линии, легенда и все деления.

Оценим погрешность полученного результата:

\Delta n_\text{нж}=\frac{1}{2}\cdot\frac{(n_\text{в}^2-1)\Delta(\gamma^2)+\gamma^2\Delta(n_\text{в}^2)}{n_\text{нж}}=\frac{(n_\text{в}^2-1)\gamma}{n_\text{нж}}\cdot\Delta\gamma+\frac{\gamma^2n_\text{в}}{n_\text{нж}}\cdot\Delta n_\text{в}.

Подставляя найденные значения и данные из условия, получим, что второе слагаемое равно 0,001, а первое — $0{,}6\Delta\gamma$ . Для нахождения $\Delta\gamma$ применим метод границ, считая, что возможное отклонение координат крайних точек составляет 0,5 мм (половину деления координатной сетки):

\gamma_{\max}=\frac{77{,}5-23{,}5}{71{,}5-22{,}5}\approx1{,}10,\quad\gamma_{\min}=\frac{76{,}5-24{,}5}{72{,}5-21{,}5}\approx1{,}02\quad\Rightarrow\quad\Delta\gamma\approx0{,}04.

Отсюда видно, что второе слагаемое не существенно, и $\Delta n_\text{нж}=0{,}03$ .

Возьмём сосуд № 2 и, включив лазер, измерим диаметр пятна. Получим, что $D_0=34$ мм.

В данной системе есть две границы (акриловая пластина-жидкость и жидкость-воздух), на которых возможно полное внутреннее отражение. Рассмотрим сначала первый случай — луч падает на границу жидкость-воздух под предельным углом $\alpha_1$ — и найдём расстояние $D_1/2$ (см. рис. 3):

D_1/2=2d\tan\beta_1+2h\tan\alpha_1.

Перепишем это выражение, учитывая, что

\sin\alpha_1=\frac{1}{n_\text{ж}},\qquad\sin\beta_1=\frac{n_\text{ж}\sin\alpha_1}{n_\text{пл}}=\frac{1}{n_\text{пл}},

и получим

D_1=\frac{4d}{\sqrt{n_\text{пл}^2-1}}+\frac{4h}{\sqrt{n_\text{ж}^2-1}}.\qquad (*)

Во втором случае, когда луч испытывает полное отражение от границы акрил-жидкость, расстояние $D_2/2$ равно

D_2/2=2d\tan\alpha_2,\quad\text{где }\sin\alpha_2=n_\text{ж}/n_\text{пл}.

Откуда, подставляя выражение для угла, получим

D_2=\frac{4d}{\sqrt{(n_\text{пл}/n_\text{ж})^2-1}}.\qquad (**)

Диаметру тёмного пятна соответствует меньшее из двух найденных значений. Большее значение определяет диаметр внешнего светлого кольца вокруг тёмного пятна (можно видеть на фото 2 из условия). Таким образом, $D=\min(D_1,D_2)$ .

Поместим линейку в сосуд № 2 и, включив лазер, начнём с помощью шприца наливать внутрь воду. Занесём в таблицу результаты измерений.

$V$ , мл	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180
$D$ , мм	46	51	55	58	63	66	70	73	76	75	75

Полная исходная схема двух интерфейсов: лазер, вода, акрил, матовая поверхность, h,d,α1,β1,α2,D1/2,D2/2.

При малых значениях $V$ вода занимает пространство между стенками сосуда и пластиной, поэтому при $V<V_1$ (значение $V_1$ предстоит найти из графика) диаметр пятна постоянен: $D=D_0=34$ мм. Аналогично, при больших значения $V$ (когда $V$ больше некоторого значения $V_2$ ) диаметр пятна определяется формулой (**), следовательно, также постоянен. В интервале $V_1<V<V_2$ зависимость $D(V)$ , согласно (*), должна быть линейной. Отметим на координатной плоскости точки, полученные в п. 2.3, и построим график, учитывающий особенности, указанные выше (рис. 3).

Полный исходный график D(V) с двумя горизонтальными и одним наклонным участками, всеми точками/погрешностями, осями и числовыми делениями.

Построенный график представляет собой ломаную — три прямолинейных участка, два из которых горизонтальны. Вершины ломаной имеют координаты (44 мл; 34 мм) и (155 мл; 75 мм).

Максимальное значение диаметра пятна $D_2=75$ мм, а минимальное — $D_0=34$ мм. Используя формулу, аналогичную полученной в пп. 1.1, запишем

D_0=\frac{4d}{\sqrt{n_\text{пл}^2-1}},

откуда

\delta=\frac{D_2^2}{D_0^2}=\frac{n_\text{пл}^2-1}{n_\text{пл}^2/n_\text{в}^2-1}\quad\Rightarrow\quad n_\text{пл}=n_\text{в}\sqrt{\frac{\delta-1}{\delta-n_\text{в}^2}}.

Так как $\delta=(75/34)^2\approx4{,}866$ , показатель преломления материала пластины (акрила) равен

n_\text{пл}=1{,}334\cdot\sqrt{\frac{3{,}866}{4{,}866-1{,}780}}\approx1{,}49.

Толщину пластины определим из формулы для $D_0$ :

d=\frac{D_0}{4}\sqrt{n_\text{пл}^2-1}=\frac{34\text{ мм}}{4}\sqrt{1{,}49^2-1}\approx9{,}4\text{ мм}.

Оценим теперь погрешности полученных значений.

\varepsilon_\delta=2\varepsilon_{D_0}+2\varepsilon_{D_2}=\frac{2\cdot1\text{ мм}}{34\text{ мм}}+\frac{2\cdot1\text{ мм}}{75\text{ мм}}=0{,}08\quad\Rightarrow\quad\Delta\delta=\delta\cdot\varepsilon_\delta=0{,}4.

Используя малость погрешности $n_\text{в}$ , вычислим $\Delta n_\text{пл}$ :

\varepsilon_{n_\text{пл}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\frac{1}{\delta-1}-\frac{1}{\delta-n_\text{в}^2}\right|\Delta\delta=0{,}012\quad\Rightarrow\quad\Delta n_\text{пл}=n_\text{пл}\cdot\varepsilon_{n_\text{пл}}=0{,}02.

Аналогично поступим при нахождении $\Delta d$ :

\varepsilon_d=\varepsilon_{D_0}+\frac{n_\text{пл}\Delta n_\text{пл}}{n_\text{пл}^2-1}=0{,}055\quad\Rightarrow\quad\Delta d=d\varepsilon_d\approx0{,}5.

Возьмём шаблон и выровняем его поверхность, прижав края к столу имеющимся оборудованием (штативом, обоими сосудами). Приложим линейку к шкале, напечатанной на шаблоне, и найдём цену деления этой шкалы:

C=\frac{80\text{ мм}}{105}\approx0{,}762\text{ мм}.

Медленно и аккуратно с помощью шприца нальём воду на поверхность шаблона. Получившаяся «лужа» должна быть как можно большего размера (ориентировочно, объём налитой воды ≈ 80 мл). Если посмотреть на в отражение в налитой «луже», то по отсутствию искажений можно определить, какая часть её поверхности является плоской. Включим лазер и посветим на шаблон с водой так, чтобы луч падал на поверхность шаблона вплотную к шкале (но не на неё!). Дождавшись прекращения движения границы «лужи», измерим диаметр тёмного пятна

D_\text{к}=19\text{ дел}=19\cdot C=19\cdot0{,}762\text{ мм}\approx14{,}5\text{ мм},

\Delta D_\text{к}=1\text{ дел}\quad\Rightarrow\quad\varepsilon_{D_\text{к}}\approx6\%.

С помощью формулы из п. 1.1 вычислим толщину слоя воды в месте, куда светили лазером:

h=\frac{D_\text{к}}{4}\sqrt{n_\text{в}^2-1}\approx3{,}2\text{ мм}.

Так как $\varepsilon_{n_\text{в}}\ll\varepsilon_h$ , относительные погрешности $h$ и $D_\text{к}$ равны, поэтому

\Delta h=h\cdot\varepsilon_h=0{,}2\text{ мм}.

Горизонтальный размер «лужи» много больше её толщины $h$ , поэтому верхняя поверхность воды является практически плоской. Это даёт возможность связать толщину слоя воды с углом смачивания, рассматривая задачу как двумерную. Рассмотрим маленький участок слоя жидкости шириной $L$ и условие её равновесия в проекции на горизонтальную ось $x$ (силы, действующие на этот участок в горизонтальном направлении, изображены на рис. 4):

Исходная схема краевого угла θ, поверхности воды и всех горизонтальных сил F,Fдавл.

0=F\cos\theta-F+p_\text{ср}Lh=\sigma L\cos\theta-\sigma L+\frac{\rho_\text{в}gLh^2}{2},

где $F=\sigma L$ — сила поверхностного натяжения, $p_\text{ср}=\rho_\text{в}gh/2$ — среднее по высоте гидростатическое давление.

Выражая отсюда $h$ , получим

h=\sqrt{\frac{2\sigma(1-\cos\theta)}{\rho_\text{в}g}}=2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho_\text{в}g}}\sin\frac{\theta}{2}.

Вычислим теперь значение угла $\theta$ :

\theta=2\arcsin\left(\frac{h}{2}\sqrt{\frac{\rho_\text{в}g}{\sigma}}\right)=2\arcsin(0{,}58)=72^\circ.

Оценим относительную погрешность аргумента арксинуса $A=0{,}5h\sqrt{\rho_\text{в}g/\sigma}$ :

\varepsilon_A=\varepsilon_h+0{,}5(\varepsilon_\sigma+\varepsilon_{\rho_\text{в}}+\varepsilon_g)=7{,}8\%.

Откуда

\Delta\theta=\frac{180^\circ}{\pi}\cdot\frac{2A\varepsilon_A}{\sqrt{1-A^2}}\approx6^\circ.

Примечание к источнику: во второй таблице напечатано « $V$ , мм»; две последовательные иллюстрации имеют подпись «Рис. 3»; в формуле $\Delta d\approx0{,}5$ единица не указана. Эти особенности и исходные значения сохранены.

Оригинал в Архива: Ru26-E.pdf · допълнителни данни: Ru26-E-dark-spot-appendix-1.pdf · допълнителни данни: Ru26-E-dark-spot-appendix-2.pdf · допълнителни данни: Ru26-E-dark-spot-appendix-3.pdf · допълнителни данни: Ru26-E-dark-spot-appendix-4.pdf · допълнителни данни: Ru26-E-dark-spot-appendix-5.pdf