ВсОШ 2026, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. 9-E2 · Три в одном

Задача №9-E2. Три в одном

Измерим сопротивления между парами выводов 1–2, 1–3 и 2–3, изменяя полярность подключения омметра и вращая ручку переменного резистора. При изменении полярности омметра сопротивление в ветви со светодиодом резко изменяется: в одном направлении прибор показывает конечное сопротивление, а в противоположном — очень большое (разрыв цепи). Это позволяет определить вывод, к которому подключен светодиод.

Если при вращении ручки переменного резистора измеряемое сопротивление между двумя выводами изменяется, то соответствующая ветвь содержит переменный резистор $R$. Ветвь, сопротивление которой не зависит от положения ручки переменного резистора, содержит резистор $r$. Сопоставляя результаты измерений для всех трёх пар выводов, можем однозначно определить, какой элемент подключён к каждому выводу, и установить соответствие между выводами 1, 2, 3 серого ящика и выводами $A$, $B$, $C$ на схеме. Выданные в оборудовании батарейки соединены последовательно с помощью колодки. Далее в решении будем данное последовательное соединение батареек называть просто батарейкой. Подключим батарейку к паре выводов 1–2. Изменяя полярность и сопротивление переменного резистора, можно обнаружить, что при подключении положительной клеммы батарейки к выводу 1 светодиод не горит ни при каких сопротивлениях переменного резистора. При подключении «плюса» батарейки к выводу 2 обнаружим, что светодиод горит и его яркость изменяется с сопротивлением переменного резистора. Это возможно тогда и только тогда, когда эта пара выводов соответствует паре выводов $A$–$B$. Вывод $C$ однозначно соответствует выводу 3. Подключим батарейку к паре выводов 1–3. Изменяя полярность, обнаружим, что при подключении «плюса» батарейки к выводу 1 светодиод не горит. При подключении положительной клеммы батарейки к выводу 3 светодиод горит, его яркость при этом не зависит от сопротивления переменного резистора. Таким образом, вывод 1 однозначно соответствует выводу $B$, от которого идёт светодиод. Вывод $A$ соответствует выводу 2 по методу исключения.

Полярность светодиода определяется по направлению тока, при котором омметр показывает конечное сопротивление. В этом направлении ток проходит от анода к катоду светодиода (см. рисунок 1). Ранее было обнаружено, что светодиод горит, если ток через него проходит к выводу 1. Значит, «плюс» светодиода находится снизу (см. рисунок 1).

Известно, что светодиод имеет монотонно возрастающую вольт-амперную характеристику, причём до определённого момента сила тока через светодиод пренебрежимо мала, а затем начинает значительно расти (и в этой ситуации светодиод горит). Подключим «плюс» батарейки к выводу 3, «минус» батарейки к выводу 1 (см. рисунок 2). Подключим вольтметр в режиме 2000 мВ к выводам 2–3 и измерим напряжение $U_V$:

С высокой точностью вольтметр можно считать идеальным. В таком случае можно считать, что через резистор $R$ ток не протекает, и $U_V$ — это напряжение на резисторе $r$. Запишем второе правило Кирхгофа для контура, через который течёт ток:

где $U(I)$ — напряжение на светодиоде, $I$ — сила тока. В соответствии с законом Ома для резистора $r$ также справедливо следующее:

Подключим «плюс» батарейки к выводу 2, «минус» батарейки к выводу 1 (см. рисунок 2). Не изменяя подключения вольтметра, будем измерять напряжение на той же паре выводов 2–3, но теперь это будет напряжение, падающее на переменном резисторе $R$. Запишем правило Кирхгофа аналогично прошлому подключению:

Изменяя сопротивление переменного резистора, можно добиться того, что при некотором сопротивлении $R'$ измеряемое напряжение будет совпадать с измеренным ранее в пределах погрешности. Измеренное значение:

В таком случае на светодиоде также падают одинаковые напряжения, а поскольку $U(I)$ — строго возрастающая зависимость при свечении светодиода, то и сила тока протекает одинаковая. Тогда $Ir=IR'$, откуда следует:

Отключим батарейку, а мультиметр переведём в режим омметра с пределом измерений 2000 Ом. Показания омметра $R_\Omega=r+R'=2r$. Измерено значение:

Получаем ответ:

Не меняя подключения омметра, изменим сопротивление переменного резистора до минимального значения. Показания омметра:

С другой стороны, $R_{\Omega1}=r+R_{\min}$. Получаем ответ:

Провернём переменный резистор до максимального сопротивления. Сменим диапазон работы омметра до 20 kΩ. Показания омметра:

С другой стороны, $R_{\Omega2}=r+R_{\max}$. Получаем ответ:

Немного поворачивая ручку переменного резистора, будем изменять его сопротивление. Для различных сопротивлений переменного резистора выполняем следующие действия:

1. Измеряем омметром сопротивление $R_\Omega$ между выводами 2–3. Диапазон омметра выбираем оптимальный для повышения точности измерений.
2. Подключаем «плюс» батарейки к выводу 2, «минус» батарейки к выводу 1.
3. Измеряем вольтметром напряжение $U$ между выводами 1–3 (это напряжение на светодиоде). Диапазон вольтметра выбираем оптимальный для повышения точности измерений.
4. Измеряем вольтметром напряжение $U_V$ между выводами 2–3. В данном случае наиболее оптимальным будет режим с пределом измерений 2000 мВ.
5. Отключаем батарейку.
6. Пересчитываем силу протекающего тока, используя закон Ома для переменного резистора и найденное ранее значение $r$: