Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 12. 11-Т2 · Молекулярка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Новый Уренгой, 2026

Внимание: Бележка към темата

Все 62 страницы родного сборника: титул и авторы, 15 целых задач 9–11 классов, 43 номерованных запроса и одна ненумерованная задача, все напечатанные возможные решения и варианты. Дополнительно сохранены три родных листа для построений с Pho.rs: фотография 9-Т1, сетка 9-Т2 и экспериментальный график 11-Т1. Название ссылки последнего листа на внешней странице ошибочно указывает T5; содержимое листа соответствует T1. Источник не печатает баллы, критерии или время. Исходные несогласованности ключа сохранены с отдельными примечаниями. Для масштаба построений используйте исходные PDF.

Титул и авторы родного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Новый Уренгой, 2026 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Антон Вергунов
9-Т2. Александр Ершов
9-Т3. Александр Ершов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Денис Рубцов, Александр Ершов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Иван Гурьянов
10-Т3. Александр Аполонский, Александр Воронцов, Алексей Заяц
10-Т4. Александр Аполонский, Иван Юдин
10-Т5. Алексей Заяц
11-Т1. Павел Ярных
11-Т2. Константин Соломатин
11-Т3. Григорий Расторгуев
11-Т4. Александр Аполонский
11-Т5. Семён Либерман

Ключ в сборнике озаглавлен «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов, каждое задание целиком, все напечатанные методы и заключительный график RLC-метра.

Условие

Идеальный двухатомный газ совершает циклический процесс, состоящий из четырёх последовательных участков: $1-2$ , $2-3$ , $3-4$ и $4-1$ . Пусть $p$ , $V$ и $n$ — давление, объём и концентрация газа, а $p_0$ , $V_0$ и $n_0$ — некоторый постоянные величины, причём $n_0V_0=N_0$ , где $N_0$ — неизменное число молекул газа.

Если изобразить этот цикл на диаграмме состояний в координатах $p/p_0$ (ордината) и $V/V_0$ (абсцисса), то участки $1-2$ и $3-4$ представляют собой отрезки, лежащие на прямых, проходящих через начало координат. Точка 2 имеет наибольшую ординату в цикле, а участок $4-1$ содержит точку с координатами $(1,1)$ . Углы наклона участков $1-2$ и $3-4$ к оси абсцисс отличаются на $\alpha$ . Масштаб осей на графике — одинаковый.

Если изобразить этот же цикл на диаграмме состояний в координатах $p/p_0$ (ордината) и $n/n_0$ (абсцисса), то теперь уже участки $2-3$ и $4-1$ представляют собой отрезки, лежащие на прямых, проходящих через начало координат. Масштаб осей на этом графике — также одинаковый.

Известно, что КПД цикла идеальной тепловой машины, построенного между максимальной и минимальной температурами, достигаемыми в ходе данного цикла, равно $\eta_K=0{,}5$ .

1 Найдите углы наклона прямых, содержащих отрезки $2-3$ и $4-1$ на диаграмме состояний в координатах $p/p_0-n/n_0$ .

2 Постройте (качественно) рассматриваемый цикл на диаграмме состояний в координатах $n/n_0$ (ордината) и $T/T_0$ (абсцисса), где $T$ — абсолютная температура, а $p_0=n_0kT_0$ . Отметьте на полученном графике известные точки/точку и значения.

3 Какие значения может принимать КПД данного цикла?

4 Найдите диапазон возможных КПД для значения угла $\alpha=\pi/3$ .

5 Найдите диапазон возможных КПД для значения угла $\alpha=\pi/6$ .

Решение

На участках $1-2$ и $3-4$ давление и объём прямо пропорциональны друг другу, поэтому вдоль этих участков они одновременно увеличиваются или уменьшаются. Следовательно, температура монотонно изменяется и достигает минимального и максимального значения на концах этих участков. Участки цикла ( $2-3$ и $4-1$ ) являются изотермами, так как $p=nkT$ , поэтому $p/n=\text{const}$ только при $T=\text{const}$ . Так как точка 2 имеет наибольшую ординату, то участок $2-3$ является с изотермой с наибольшей температурой, а $4-1$ — с наименьшей. Обозначим эти температуры $T_{\max}$ и $T_{\min}$ соответственно. По условию мы знаем КПД цикла Карно, построенного между этими температурами:

\eta_K=0{,}5=\frac{T_{\max}-T_{\min}}{T_{\max}}.

Получим соотношение между максимальной и минимальной температурами:

T_{\max}=2T_{\min}.

Точка $(1,1)$ лежит на участке $4-1$ , поэтому:

p_0=\frac{N_0}{V_0}kT_{\min}.

Выражая температуру, получаем:

T_{\min}=\frac{p_0V_0}{N_0k}=\frac{p_0}{n_0k};\qquad T_{\max}=\frac{2p_0}{n_0k}.

Найдём коэффициент наклона графика зависимости $p/p_0$ от $n/n_0$ для изотермы с температурой $T$ :

p=nkT,\qquad\frac p{p_0}=\frac{n_0kT}{p_0}\cdot\frac n{n_0}.

Коэффициент наклона является тангенсом соответствующего угла:

\tan\beta=\frac{n_0kT}{p_0}.

Подставим найденные ранее температуры и получим ответ.

Для $4-1$ : $\tan\beta_{4-1}=1$ или $\beta_{4-1}=45^\circ$ . Для $2-3$ : $\tan\beta_{2-3}=2$ или $\beta_{2-3}=\arctan2=63{,}4^\circ$ .

Заметим, что на $4-1$ из найденного ранее значения температуры получаем $T/T_0=1$ , аналогично на $2-3$ имеем $T/T_0=2$ . Соответственно точка $(1,1)$ принадлежит участку $4-1$ и в такой системе координат. Теперь проанализируем вид участков $1-2$ и $3-4$ . На них давление и объём пропорциональны:

\frac p{p_0}\propto\frac V{V_0}=\frac{n_0}n,

так как $nV=n_0V_0=N_0$ .

n=\frac p{kT}\propto\frac VT\propto\frac1{nT},\qquad n^2\propto\frac1T.

Таким образом на этих участках имеем:

\frac n{n_0}\propto\sqrt{\frac{T_0}T}.

Построим качественно график.

Для удобства нарисуем наш цикл в координатах $p/p_0-V/V_0$ .

Заметим, что $1-2$ и $3-4$ удовлетворяют уравнению $pV^{-1}=\text{const}$ , то есть это политропы. Найдём теплоёмкость в таком процессе.

\delta Q=dU+\delta A=\nu C_VdT+pdV,

p\propto V\Rightarrow\frac{dp}p=\frac{dV}V,

pV=\nu RT\Rightarrow\frac{dT}T=\frac{dp}p+\frac{dV}V=2\frac{dV}V\Rightarrow\frac{dV}V=\frac{dT}{2T},

pdV=\frac{pVdT}{2T}=\frac{\nu RTdT}{2T}=\frac{\nu R}2dT,

\delta Q=\nu C_VdT+\frac{\nu R}2dT=\nu\left(C_V+\frac R2\right)dT.

Учитывая, что газ двухатомный, получаем, что в этих процессах его теплоёмкость $C=3\nu R$ . Таким образом можем найти теплоту в процессах $1-2$ и $3-4$ :

Q_{1-2}=-Q_{3-4}=C(2T_0-T_0)=3\nu RT_0.

Обозначим угол между $3-4$ и осью абсцисс $\delta$ . Найдём значения объёма газа в вершинах цикла. Точка 4:

\frac{p_4}{p_0}\cdot\frac{V_4}{V_0}=\left(\frac{V_4}{V_0}\right)^2\tan\delta=\frac{T_4}{T_0}=1,\qquad\frac{V_4}{V_0}=\sqrt{\frac1{\tan\delta}}.

Аналогично получим остальные значения.

\frac{V_3}{V_0}=\sqrt{\frac2{\tan\delta}},\qquad\frac{V_1}{V_0}=\sqrt{\frac1{\tan(\delta+\alpha)}},\qquad\frac{V_2}{V_0}=\sqrt{\frac2{\tan(\delta+\alpha)}}.

Найдём теплоты на участках $4-1$ и $2-3$ . Так как это изотермы, то они равны соответствующим работам.

Q_{2-3}=\int_{V_2}^{V_3}pdV=2\nu RT_0\int_{V_2}^{V_3}\frac{dV}V=2\nu RT_0\ln\frac{V_3}{V_2},

Q_{2-3}=2\nu RT_0\ln\left(\sqrt{\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}}\right)=\nu RT_0\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right).

Аналогично для участка $4-1$ .

Q_{4-1}=-\frac{\nu RT_0}2\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right).

Заметим, что работа в цикле $A=Q_{1-2}+Q_{2-3}+Q_{3-4}+Q_{4-1}$ . При этом тепло подводится только на участках $1-2$ и $2-3$ , поэтому $Q_+=Q_{1-2}+Q_{2-3}$ . Таким образом КПД цикла:

\eta=\frac{\frac{\nu RT_0}2\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)}{\nu RT_0\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)+3\nu RT_0}=\frac1{2\left(1+\frac3{\ln\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)}\right)}.

Найдём, как $\tan(\delta+\alpha)/\tan\delta$ зависит от $\delta$ .

\frac d{d\delta}\left(\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\tan\delta}\right)=\frac{\frac{\tan\delta}{\cos^2(\delta+\alpha)}-\frac{\tan(\delta+\alpha)}{\cos^2\delta}}{\tan^2\delta}=\frac{\sin\delta\cos\delta-\sin(\delta+\alpha)\cos(\delta+\alpha)}{\sin^2\delta\cos^2(\delta+\alpha)}.

Заметим, что производная обращается в 0 при:

\sin\delta\cos\delta-\sin(\delta+\alpha)\cos(\delta+\alpha)=0,

\sin2\delta=\sin2(\delta+\alpha),\qquad2\delta=\pi-2(\delta+\alpha),

\delta=\frac\pi2-(\delta+\alpha),\qquad\delta=\frac\pi4-\frac\alpha2.

Заметим, что это соответствует ситуации, когда $1-2$ и $3-4$ симметричны относительно прямой $p/p_0=V/V_0$ . Таким образом, исследуемая функция уменьшается от бесконечности при $\delta=0$ до минимального значения в этот момент, а потом возрастает к бесконечности при $\alpha+\delta=\pi/2$ . С точки зрения КПД это означает, что в симметричном случае $\delta=\pi/4-\alpha/2$ он минимален, а максимален или при максимальном значении, или при минимальном значении $\delta$ . Найдём ограничения на $\delta$ . Из физических соображений понятно, что $\delta>0$ и $\alpha+\delta<\pi/2$ . Так же из условия следует, что точка $(1,1)$ лежит между прямыми содержащими $1-2$ и $3-4$ , поэтому $\alpha+\delta>\pi/4$ и $\delta<\pi/4$ . Суммарно получаем:

\max\left(0,\frac\pi4-\alpha\right)\leq\delta\leq\min\left(\frac\pi4,\frac\pi2-\alpha\right).

Заметим, что в любом случае симметричный случай реализуется, поэтому минимум КПД при $\delta=\pi/4-\alpha/2$ :

\eta\geq\frac1{2\left(1+\frac3{\ln\left(\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}\right)}\right)}.

Максимум КПД зависит от граничных значений $\delta$ . Если $\alpha\geq\pi/4$ , то отношение тангенсов может быть сколь угодно большим и соответсвенно ограничение на КПД:

\eta<1/2.

В ином случае граничные значения $\delta$ равны $\pi/4-\alpha$ и $\pi/4$ дают одинаковый КПД, так как $\tan(\alpha+\pi/4)=1/\tan(\pi/4-\alpha)$ , и ограничение на КПД:

\eta\leq\frac1{2\left(1+\frac3{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)}.

При $\alpha\geq\pi/4$ :

\frac1{2\left(1+\frac3{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)}\leq\eta<\frac12.

При $\alpha<\pi/4$ :

\frac1{2\left(1+\frac3{\ln\left(\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}\right)}\right)}\leq\eta\leq\frac1{2\left(1+\frac3{\ln\left(\tan\left(\frac\pi4+\alpha\right)\right)}\right)}.

В этом случае $\alpha>\pi/4$ . Подставим значение угла в соответствующие формулы.

0{,}234\leq\eta<0{,}5.

В этом случае $\alpha<\pi/4$ . Подставим значение угла в соответствующие формулы.

0{,}134\leq\eta\leq0{,}153.

Примечания к источнику: исходная нижняя граница на странице 52 содержит $\sin\alpha$ , а нижние границы общих диапазонов на странице 53 буквально содержат $\tan\alpha$ . При $\alpha\geq\pi/4$ эта напечатанная подстановка также делает аргумент логарифма неположительным. Все различные исходные формулы и оба численных диапазона сохранены; бесшумная замена тангенса синусом не сделана. На странице 52 строгие ограничения в прозе сменяются нестрогими в следующем отображённом диапазоне; оба вида сохранены.

Full native red n/n0-versus-T/T0 cycle,1/2/3/4,point1/1,all axes/ticks/dashed guides.

Full native red p/p0-versus-V/V0 cycle,all four states,alpha/delta,origin,point1/1 and guides.

Оригинал в Архива: Ru26-T.pdf · решение от архива: Ru26-T.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T1-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T2-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-11T1-sheet.pdf