Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 13. 11-Т3 · Электростатический этюд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Новый Уренгой, 2026

Внимание: Бележка към темата

Все 62 страницы родного сборника: титул и авторы, 15 целых задач 9–11 классов, 43 номерованных запроса и одна ненумерованная задача, все напечатанные возможные решения и варианты. Дополнительно сохранены три родных листа для построений с Pho.rs: фотография 9-Т1, сетка 9-Т2 и экспериментальный график 11-Т1. Название ссылки последнего листа на внешней странице ошибочно указывает T5; содержимое листа соответствует T1. Источник не печатает баллы, критерии или время. Исходные несогласованности ключа сохранены с отдельными примечаниями. Для масштаба построений используйте исходные PDF.

Титул и авторы родного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Новый Уренгой, 2026 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Антон Вергунов
9-Т2. Александр Ершов
9-Т3. Александр Ершов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Денис Рубцов, Александр Ершов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Иван Гурьянов
10-Т3. Александр Аполонский, Александр Воронцов, Алексей Заяц
10-Т4. Александр Аполонский, Иван Юдин
10-Т5. Алексей Заяц
11-Т1. Павел Ярных
11-Т2. Константин Соломатин
11-Т3. Григорий Расторгуев
11-Т4. Александр Аполонский
11-Т5. Семён Либерман

Ключ в сборнике озаглавлен «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов, каждое задание целиком, все напечатанные методы и заключительный график RLC-метра.

Условие

На оси бесконечной цилиндрической полости радиусом $R$ с проводящими стенками находится электрический диполь с зарядами $q$ и $-q$ и плечом $l$ . На расстоянии $L$ от него также на оси расположен электрический заряд $Q$ . При этом $l\ll R,L$ . На заряд $Q$ действует сила $F_Q$ . Электрический диполь в этой системе разворачивают на $90^\circ$ , так что ось полости становится серединным перпендикуляром к плечу диполя, а расстояние до заряда не меняется. В этом случае на диполь действует сила $F_D$ .

Both complete native conducting-cylinder/dipole orientations,R,l,L,q/-q/Q,all charge positions.

1 Найдите отношение $F_Q/F_D$ .

Решение

Рассмотрим один заряд $q$ , расположенный на оси симметрии цилиндра. Поскольку поверхность цилиндра проводящая, на ней возникнут индуцированные заряды, величина которых пропорциональна $q$ . Их электрическое поле на оси цилиндра на расстоянии $z$ до заряда можно записать в виде

E_z^{(\mathrm{ind})}(z)=qf^{(\mathrm{ind})}(z),

где $f^{(\mathrm{ind})}(z)$ — некоторая неизвестная функция, зависящая от распределения индуцированных зарядов.

Вклад в осевую напряжённость вносят не только индуцированные заряды на поверхности проводника, но и заряды, находящиеся на оси. Напряжённость от такого заряда модулем $\widetilde q$ мы обозначим за $\widetilde qf^{(\mathrm p)}$ (здесь «p» от английского point). Разумеется, её можно вычислить напрямую:

qf^{(\mathrm p)}(z)=k\frac q{z^2}.

Тогда, согласно принципу суперпозиции, поле в точке, где находится заряд $Q$ :

E_1=q\bigl(f(L)-f(L+l)\bigr),

где

f(z)=f^{(\mathrm{ind})}(z)+f^{(\mathrm p)}(z).

Тогда с учетом условия $l\ll L$ получим для силы, действующей на заряд,

F_Q=QE_1=-qQlf'(L)

или

F_Q=-qQl\left(f^{(\mathrm{ind})}\right)'(L)+2qQl\frac k{L^3}.

Теперь рассмотрим случай повернутого диполя. Заряд $Q$ и индуцированные им заряды создают на оси цилиндра поле

Qf^{(\mathrm p)}(z)+Qf^{(\mathrm{ind})}(z)=Qf(z).

При смещении от оси на малое расстояние $r\ll R$ у электрического поля появляется радиальная составляющая $E_r$ . Чтобы определить ее, рассмотрим цилиндр высоты $dz$ с радиусом основания $r$ , ось симметрии которого совпадает с осью внешнего цилиндра. Поскольку внутри этого цилиндра нет зарядов, согласно теореме Гаусса, поток электрического поля через его поверхность равен нулю:

\pi r^2Q\bigl(f(z+dz)-f(z)\bigr)+2\pi r\,dz\,E_r=0,

откуда

E_r(z)=-\frac12Qrf'(z)

или же

E_r(z)=-\frac12Qr\left(f^{(\mathrm{ind})}\right)'(z)+\frac14Qr\frac k{z^3}.

Из симметрии задачи относительно оси цилиндра следует, что от системы, состоящей из заряда $Q$ и индуцированных им зарядов, в точках, где расположены заряды диполя, составляющие электрического поля вдоль оси $z$ равны, а значит, проекция суммарной силы на ось $z$ равна 0.

Более того, из-за зеркальной симметрии системы индуцированных диполем зарядов, осевая проекция силы на диполь от них равна нулю. Силы же, создаваемые радиальными составляющими поля от индуцированных диполем зарядов, уничтожают друг друга.

Суммарная сила, действующая на диполь,

F_D=2qE_r\left(\frac l2\right)=-\frac12qQlf'(L).

Отсюда искомое отношение

\frac{F_Q}{F_D}=2.

Примечание к источнику: в развёрнутой формуле $E_r(z)$ на странице 54 буквально стоит коэффициент $1/4$ перед $Qr k/z^3$ , хотя предшествующие $f^{(\mathrm p)}(z)=k/z^2$ и $E_r(z)=-Qrf'(z)/2$ дают другое значение этого коэффициента. Сохранены обе исходные формы, аргумент $l/2$ в записи $E_r$ для силы диполя и напечатанный конечный ответ 2.

Оригинал в Архива: Ru26-T.pdf · решение от архива: Ru26-T.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T1-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T2-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-11T1-sheet.pdf