ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 14. 11-Т4 · Кольцо на границе

На участки кольца, находящиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору $\vec B$ и вектору скорости участка кольца. Можно рассматривать движение кольца как наложение поступательного движения в направлении вдоль границы со скоростью $v_x$, поступательного движения перпендикулярно границе со скоростью $v_y$ и вращения с угловой скоростью $\omega$.

Из-за поступательного движения в направлении $y$ возникает момент силы Лоренца, раскручивающий кольцо. Этот момент сил исчезает только после того, как кольцо полностью окажется в области поля. Сумма сил Лоренца, действующих на участки в области поля, связанная с движением вдоль $y$, направлена вдоль границы и изменяет значение $v_x$.

Силы Лоренца, связанные с поступательным движением вдоль оси $x$, изменяют скорость $v_y$, но не создают момента сил, раскручивающих кольцо. Силы Лоренца, возникающие из-за вращательного движения кольца, как легко убедиться, действуют только вдоль $y$ и не влияют на движение вдоль $x$.

Рассмотрим тангенциальную составляющую силы Лоренца, действующую на участок кольца длины $\Delta l$, связанную с $v_y$. Она равна $\lambda\Delta lBv_y\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между этим участком и осью $x$. Величина $\Delta l\cos\varphi$ представляет собой проекцию этого участка на $x$, а сумма тангенциальных составляющих для всех участков, находящихся в области магнитного поля, будет равна $\lambda l_xBv_y$, где $l_x$ — длина хорды, стягивающей концы участка кольца, находящегося в области поля. Тогда

После домножения обеих частей уравнения на $dt$, с учётом того, что $v_ydt=dy$, а $l_xdy=dS$, где $dS$ — дополнительная площадь кольца, которая оказывается в области поля за время $dt$, получаем

где $d\Phi$ — прирост потока магнитного поля через плоскость кольца.

Если кольцо полностью окажется в области магнитного поля, его угловая скорость вращения будет равна

Итак, ответ на первый вопрос задачи: $\omega=\pi\lambda BR/m$.

Как отмечалось выше, вращение не влияет на проекцию скорости $v_x$, её изменение целиком определяется $y$-проекцией скорости центра и зарядом той части кольца (дуги длины $l$), которая находится в поле.

Пусть $y$ — координата точки кольца, наиболее удалённой от границы. Другими словами, это расстояние, на которое сместилось кольцо в направлении $y$ от начала движения. Тогда $l=2R\arccos((R-y)/R)$. Далее

Домножив на $dt$, переходим к интегралу

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии, учитывая тот факт, что сила Лоренца работы не совершает и кинетическая энергия кольца в любой момент времени равна начальной.

Для ответа на второй вопрос задачи положим в этом выражении $v_y=0$ и воспользуемся результатом ответа на первый пункт для угловой скорости. Тогда

Поскольку $v_x$ уже найдено, то для ответа на третий вопрос достаточно определить проекцию $v_y$ в момент, когда кольцо целиком окажется в поле.

Из закона сохранения энергии находим: $v_y=\sqrt{v_0^2-v_x^2-\omega^2R^2}=\sqrt{v_0^2-v_{\min}^2}$. Для тангенса искомого угла: $\tan\theta=v_y/v_x$.

Следовательно,

С момента, когда кольцо целиком оказывается в области поля его угловая скорость перестаёт меняться и центр кольца движется как точечный заряд $q=2\pi R\lambda$ со скоростью, проекции которой равны значениям $v_x$ и $v_y$ в момент пересечения границы области последней точкой кольца. С этого момента

После уже традиционного домножения на $dt$ и интегрирования получаем

Здесь $\Delta y$ — изменение $y$ — координаты центра от момента полного вхождения в поле до момента максимального удаления центра от границы, $\Delta v_x$ — соответствующее этим моментам времени изменение проекции скорости.

$v_x$ в момент максимального удаления можно найти из закона сохранения энергии

Тогда

Искомое максимальное удаление: