Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 15. 11-Т5 · RLC-метр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Новый Уренгой, 2026

Внимание: Бележка към темата

Все 62 страницы родного сборника: титул и авторы, 15 целых задач 9–11 классов, 43 номерованных запроса и одна ненумерованная задача, все напечатанные возможные решения и варианты. Дополнительно сохранены три родных листа для построений с Pho.rs: фотография 9-Т1, сетка 9-Т2 и экспериментальный график 11-Т1. Название ссылки последнего листа на внешней странице ошибочно указывает T5; содержимое листа соответствует T1. Источник не печатает баллы, критерии или время. Исходные несогласованности ключа сохранены с отдельными примечаниями. Для масштаба построений используйте исходные PDF.

Титул и авторы родного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Новый Уренгой, 2026 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Антон Вергунов
9-Т2. Александр Ершов
9-Т3. Александр Ершов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Денис Рубцов, Александр Ершов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Иван Гурьянов
10-Т3. Александр Аполонский, Александр Воронцов, Алексей Заяц
10-Т4. Александр Аполонский, Иван Юдин
10-Т5. Алексей Заяц
11-Т1. Павел Ярных
11-Т2. Константин Соломатин
11-Т3. Григорий Расторгуев
11-Т4. Александр Аполонский
11-Т5. Семён Либерман

Ключ в сборнике озаглавлен «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов, каждое задание целиком, все напечатанные методы и заключительный график RLC-метра.

Условие

RLC-метр это прибор, позволяющий непосредственно измерять сопротивления, индуктивности и емкости. В него встроены генератор синусоидального напряжения, а также вольтметры, позволяющие измерять напряжения на выводах прибора и на резисторе, подключенном к одному из выводов. Таким образом, прибор определяет соотношение амплитуд протекающего через него тока и напряжения на выходах. По этим измеренным значениям и известной частоте рассчитывается значение измеряемой величины (индуктивности, емкости или сопротивления в зависимости от режима).

Экспериментатор Глюк взял катушку с индуктивностью $L$ и конденсатор с емкостью $C$ . В первом эксперименте он соединил их последовательно, подключил к RLC-метру и снял показания в двух режимах работы. В режиме измерения индуктивности показания были равны $L_1=6{,}20\ \text{мГн}$ , а в режиме измерения емкости — $C_1=2{,}84\ \text{мкФ}$ . Во втором эксперименте те же самые элементы были соединены параллельно и подключены к тому же прибору. В режиме измерения индуктивности прибор показал $L_2=21{,}3\ \text{мГн}$ . Частота при всех этих измерениях поддерживалась одинаковой.

Native complete RLC meter schematic,oscillator,both voltmeters,r,all terminal branches and caption.

1 Какое значение $C_2$ покажет RLC-метр в режиме измерения емкости во втором эксперименте? Получите формулу и численное значение.

2 Чему равны индуктивность $L$ и емкость $C$ используемых Глюком катушки и конденсатора? Получите формулы и численные значения.

3 Пусть теперь измерения производятся для неидеальной катушки, индуктивность которой $L=10{,}0\ \text{мГн}$ , а сопротивление $R=5{,}0\ \text{Ом}$ . При каких значениях частоты $f$ , на которой производятся измерения, связанная с сопротивлением погрешность определения индуктивности меньше $0{,}1\%$ ? Считайте, что реальную катушку можно представить как последовательно соединенные идеальную катушку и резистор.

4 К катушке из предыдущего пункта Глюк последовательно присоединил конденсатор с емкостью $C=1{,}00\ \text{мкФ}$ . Экспериментатор провел измерения индуктивности полученной цепи RLC-метром в максимально широком диапазоне частот. Постройте качественный график зависимости измеренных значений индуктивности от частоты. Укажите характерные точки и асимптотики зависимости индуктивности от частоты в пределе малых и больших частот.

Решение

Отношение измеренных амплитуд напряжения и тока равно модулю импеданса $|Z|$ устройства, подключенного выводам RLC-метра. Используя известные формулы для импедансов индуктивности $Z_L=i\omega L$ и емкости $Z_C=-i/\omega C$ (где $\omega$ — циклическая частота, на которой проводятся измерения) можно определить измеренные прибором значения индуктивности и емкости. Из формул для последовательного соединения импедансов получим в первом случае

\left|\omega L-\frac1{\omega C}\right|=\omega L_1=\frac1{\omega C_1}.\qquad (1)

Во втором случае используем формулу для импеданса параллельного соединения

\frac{L/C}{\left|\omega L-\frac1{\omega C}\right|}=\omega L_2=\frac1{\omega C_2}.\qquad (2)

Какое бы устройство не подключалось к выводам, показания прибора в режимах измерения индуктивности и емкости связаны соотношением $|Z|=\omega L_1=1/\omega C_1$ , то есть $L_1C_1=1/\omega^2$ . Таким образом $L_1C_1=L_2C_2$ , откуда

C_2=\frac{L_1C_1}{L_2}.

C_2=C_1\frac{L_1}{L_2}\approx0{,}83\ \text{мкФ}.

Знаменатель в уравнении (2) для параллельного соединения совпадает с импедансом для последовательного соединения, поэтому

\frac L{C\cdot\omega L_1}=\omega L_2.

Подставляя в это соотношение значение $\omega^2=1/L_1C_1$ , найдем

\frac LC=\frac{L_2}{C_1}.

Выражая отсюда $C_1$ и подставляя в уравнение (1), получим

\left|L-\frac1{\omega^2C}\right|=\left|L-\frac{L_1L_2}L\right|=L_1.

Отсюда

|L^2-L_1L_2|=L_1L,

значит $L$ удовлетворяет одному из двух квадратных уравнений

L^2-L_1L_2=\pm L_1L,

откуда

L^2\mp L_1L-L_1L_2=0.

Корни этих двух уравнений имеют вид

L=\frac{\pm L_1\pm\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}}2,

где первый знак определяется знаком $\pm$ в уравнении, а второй — выбранным корнем квадратного уравнения. При этом индуктивность должна быть положительной, поэтому перед квадратным корнем всегда нужно выбирать знак $+$ . Итого получаем, что возможны два значения индуктивности

L=\frac{\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}\pm L_1}2,

отвечающие двум разным способам раскрыть модуль. Отвечающие им значения емкости можно найти как

C=L\frac{C_1}{L_2}=\frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}\pm L_1\right)=\frac{2C_1L_1}{\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}\mp L_1}.

L=\frac{\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}+L_1}2=15{,}0\ \text{мГн};\qquad C=\frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}+L_1\right)=2{,}00\ \text{мкФ}.

L=\frac{\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}-L_1}2=8{,}80\ \text{мГн};\qquad C=\frac{C_1}{2L_2}\left(\sqrt{L_1^2+4L_1L_2}-L_1\right)=1{,}17\ \text{мкФ}.

Комплексный импеданс неидеальной катушки равен

Z_L'=R+i\omega L,

тогда измеренное значение индуктивности определяется из соотношения

\omega L_{\exp}=\sqrt{R^2+\omega^2L^2},\qquad L_{\exp}=\sqrt{L^2+\frac{R^2}{\omega^2}}.

Видим, что это значение всегда больше значения индуктивности катушки, и в пределе больших частот стремится к ней. Тогда частота должна быть больше некоторой критической частоты, которую можно найти из условия, что $L_{\exp}=L(1+\delta)$ , где $\delta$ — максимально допустимая погрешность:

\sqrt{L^2+\frac{R^2}{\omega^2}}<L(1+\delta),

откуда с учетом малости $\delta$

\frac{R^2}{\omega_c^2}=L^2((1+\delta)^2-1)\approx2\delta L^2.

Получаем критическое значение циклической частоты

\omega_c=\frac R{L\sqrt{2\delta}},

и критическое значение частоты

f_c=\frac R{2\pi L\sqrt{2\delta}}.

f>f_c=\frac R{2\pi L\sqrt{2\delta}}=1780\ \text{Гц}.

Импеданс цепи равен

Z=R+i\omega L-\frac i{\omega C}.

Приравнивая его модуль к $\omega L_1$ , найдем измеренную индуктивность $L_1$ :

\omega L_{\exp}=\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right)^2},

отсюда

L_{\exp}=\sqrt{\frac{R^2}{(2\pi f)^2}+\left(L-\frac1{(2\pi f)^2C}\right)^2}.

Проанализируем полученное выражение. При больших частотах слагаемые с частотой в знаменателе стремятся к 0, поэтому измеренное значение индуктивности стремится к постоянной $L_{\exp}\approx L$ . При малых частотах наибольшее значение у слагаемого с наибольшей степенью частоты в знаменателе, поэтому

L_{\exp}\approx\frac1{(2\pi f)^2C}.

Покажем, что у подкоренного выражения есть минимум при промежуточном значении частоты. Для удобства введем вспомогательную переменную $x=1/(2\pi f)^2$ и рассмотрим функцию

f(x)=xR^2+\left(L-\frac xC\right)^2.

Ее производная обращается в 0 при

R^2+\frac2C\left(\frac xC-L\right)=0,

откуда

x=LC-\frac{R^2C^2}2=LC\left(1-\frac{R^2C}{2L}\right).

Этому значению $x$ отвечает значение частоты

f_0=\frac1{2\pi\sqrt{LC}\sqrt{1-R^2C/2L}},

которое существует при $R^2C/2L<1$ . Это значение отвечает минимуму рассматриваемой функции, поскольку она представляет собой квадратичную зависимость с положительным коэффициентом перед $x^2$ . Соответствующее значение индуктивности в минимуме

L_0=R\sqrt{CL-\frac{R^2C^2}4}.

Для чисел, приведенных в условии

f_0=1590\ \text{Гц},\qquad L_0=0{,}50\ \text{мГн}.

Full native red measured-inductance versus frequency graph,Lexp,L/L0 dashed blue asymptotes,f0,origin and all axis arrows.

Оригинал в Архива: Ru26-T.pdf · решение от архива: Ru26-T.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T1-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T2-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-11T1-sheet.pdf