ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 2. 9-Т2 · Спица

Метод 1

Рассмотрим систему, состоящую из двух грузов и нити. На неё действуют три силы: сила тяжести $3m\vec g$, реакция опоры $\vec N_1$ со стороны вертикального участка и сила реакции $\vec N_2$ со стороны полуокружности. Линии действия сил $\vec N_1$ и $3m\vec g$ пересекаются в точке $O$. Следовательно, по теореме о трёх непараллельных силах, линия действия силы $\vec N_2$ также проходит через точку $O$ (см. рисунок 1).

Сила $\vec N_2$ перпендикулярна касательной к окружности, поэтому направлена к её центру. Таким образом, центр полуокружности лежит на прямой, проходящей через точку приложения силы $\vec N_2$ и точку $O$.

Проведём через точку, соответствующую положению груза массой $2m$, касательную к окружности (перпендикуляр к $\vec N_2$). Обозначим через $B$ точку пересечения этой касательной с вертикальным участком проволоки (см. рисунок 2).

Полученная точка $B$ равноудалена от $2m$ и от точки излома проволоки $A$. С помощью циркуля или линейки отложим отрезок $AB$ вверх, восстановив точку $A$. Затем пересечем перпендикуляр к касательной, проведённой через точку $2m$, а также горизонтальную линию, проходящей через точку $A$ (точку соединения участков проволоки) и получим центр полуокружности. Это позволяет восстановить положение всей полуокружности.

Метод 2

После теоремы о трех силах можно не строить центр окружности геометрически, а записать подобие:

Численные значения длин отрезков $x$, $y$ и $z$ находятся из рисунка: $x=3\ \text{см}$, $y=3\sqrt5/2\ \text{см}$, $z=1{,}5\ \text{см}$. Откуда:

Метод 3

Расставим силы и введём систему координат, как показано на рисунке 4. В ней координаты грузов $m$ и $2m$, определяемые по масштабу, соответственно равны $(0;-y_1)=(0;-3\ \text{см})$ и $(x_2;0)=(4{,}5\ \text{см};0)$. Обозначим через $\alpha$ угол между нитью и вертикалью, а через $\varphi$ — угол между силой $\vec N_2$ и вертикалью.

Запишем условия равновесия для груза массы $m$:

и для всей системы:

Из соответствующих треугольников сил (см. рисунок 5) получаем:

С другой стороны,

Следовательно,

Из геометрии окружности:

откуда:

а координаты центра окружности:

Сила полной реакции опоры $\vec Q$, действующая на кольцо, полностью компенсирует силу натяжения $\vec T$. При этом $\vec Q$ составляет угол $\beta$ с силой нормальной реакции опоры $\vec N$, направленной в центр окружности (см. рисунок 6). Тогда условие равновесия с учётом трения имеет вид:

Обозначим положение груза $m$ точкой $L$, кольца — $D$. По теореме косинусов для треугольника $\triangle ODL$:

С учётом ограничения на угол $\beta$ получаем:

По теореме Пифагора:

Так как

получаем:

Примечание к источнику: на странице 23 буквально напечатано $\beta_{cr}=\operatorname{tg}\mu$, а на странице 24 используется $\cos\beta_{cr}=1/\sqrt{1+\mu^2}$. Эти две исходные записи не согласуются; обе сохранены без исправления.